Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если BM: MC = 2: 5, KM = 14.

Чтобы решить задачу, используем свойства подобных треугольников и разберем её по шагам.

Дано:

• Мы имеем треугольник \(ABC\).
• Прямая, параллельная стороне \(AC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно.
• Доля отрезков: \(BM:MC = 2:5\) (это означает, что если общая длина \(BC\) составляет 7 частей, то \(BM = 2\) части и \(MC = 5\) частей).
• Длина отрезка \(KM = 14\).

Цель:

Найти длину отрезка \(AC\).

Решение:

1. Определим длины отрезков \(BM\) и \(MC\): Сначала найдем длину всего отрезка \(BC\).

   Мы можем обозначить длины отрезков следующим образом: \(BM = 2x\) и \(MC = 5x\), где \(x\) — некая единичная длина.

   Тогда: \[ BC = BM + MC = 2x + 5x = 7x \]

2. Соотношение сторон треугольника: По теореме о подобных треугольниках, если прямая параллельна одной из сторон треугольника, то она делит другие стороны пропорционально. В нашем случае: \[ \frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MC} \] Введем для простоты \(AK = 2k\) (так как \(AK\) будет равно дольке \(AK\) в подобии \(A\) к \(K\)) и \(KB = 5k\) для \(K\).

3. Запишем отношение: \[ \frac{AK}{KB} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} \]

   Теперь запишем, что прямая \(KM\) является мнимым аналогом \(AC\), длины которой мы хотим найти.

4. Зная, что \(KM\) и \(AC\) являются подобными отрезками: Так как прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\), делит их пропорционально, можем установить следующее соотношение: \[ \frac{KM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{7} \]

5. Подставляем известные значения: У нас есть длина \(KM = 14\). Подставляем в уравнение: \[ \frac{14}{AC} = \frac{2}{7} \]

6. Находим \(AC\): Теперь решим уравнение на \(AC\): \[ 14 \cdot 7 = 2 \cdot AC \] \[ 98 = 2 \cdot AC \] \[ AC = \frac{98}{2} = 49 \]

Ответ:

Длина отрезка \(AC\) равна 49.