Найдите количество двузначных натуральных чисел X, для которых ложно высказывание: ((X ≥ 50) ИЛИ НЕ ((X кратно 2) ИЛИ (X кратно 3))).
Для того чтобы решить задачу, сначала проанализируем высказывание, которое нам дано:
\[ ((X \geq 50) \lor \neg ((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3))) \]
Нам необходимо найти количество двузначных натуральных чисел \(X\), для которых данное высказывание ложно.
Шаг 1: Определение лживого значения
Чтобы определить, при каких условиях это высказывание ложно, сначала выясним, при каких условиях оно истинно:
- Высказывание истинно, если хотя бы одно из условий в скобках выполняется:
- \(X \geq 50\)
- \(\neg ((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3))\)
Таким образом, высказывание ложно, если выполняются оба этих условия:
- \(X < 50\)
- \((X \text{ кратно } 2) \lor (X \text{ кратно } 3)\) (то есть \(X\) кратно 2 или 3)
Шаг 2: Определение диапазона двузначных чисел
Двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Мы ограничим наш поиск двузначными числами, которые меньше 50:
- Двузначные числа меньше 50: \(10, 11, 12, ..., 49\)
Шаг 3: Найдем числа, кратные 2 или 3
Теперь нам нужно найти числа \(X\) из диапазона 10-49, которые кратны 2 или 3. Найдем числа, которые не являются кратными 2 или 3:
Числа кратные 2:
- \(10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48\) (всего 20 чисел)
Числа кратные 3:
- \(12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45\) (всего 12 чисел)
Числа кратные 6 (общее кратное для 2 и 3):
- \(12, 18, 24, 30, 36, 42\) (всего 6 чисел)
Теперь применим правило включения-исключения, чтобы найти количество чисел, кратных 2 или 3:
\[ n(2 \lor 3) = n(2) + n(3) - n(2 \land 3) = 20 + 12 - 6 = 26 \]
Шаг 4: Общее количество двузначных чисел меньше 50
Теперь мы можем найти общее количество двузначных чисел от 10 до 49:
- Двузначные числа от 10 до 49: \(49 - 10 + 1 = 40\)
Шаг 5: Найдем количество двузначных чисел меньше 50, которые не кратны 2 или 3
Теперь нам нужно вычесть количество чисел, кратных 2 или 3, из общего количества:
\[ 40 - 26 = 14 \]
Ответ
Таким образом, количество двузначных натуральных чисел \(X\), для которых высказывание ложно, равно \(14\).
