Для решения этой задачи используем теорию вероятностей. Мы должны определить границы вероятного числа бракованных изделий в партии из 1000 шт. с учетом двух типов дефектов (А и В).
Дано:
- Общее количество изделий: ( N = 1000 )
- Вероятность наличия дефекта А для одного прибора: ( P(A) = 0,01 )
- Вероятность наличия дефекта В для одного прибора: ( P(B) = 0,02 )
- Вероятность практической достоверности: ( P(\text{достоверность}) = 0,997 )
1. Определяем ожидаемое количество изделий с дефектом А и дефектом В:
Ожидаемое количество бракованных изделий с дефектом А:
[
E(A) = N \cdot P(A) = 1000 \cdot 0,01 = 10
]
Ожидаемое количество бракованных изделий с дефектом В:
[
E(B) = N \cdot P(B) = 1000 \cdot 0,02 = 20
]
2. Определяем распределение количества бракованных изделий:
Для каждой категории дефектов (А и В) мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждое изделие с некоторой вероятностью может быть бракованным:
- Для дефекта А:
- Количество бракованных изделий будет распределено по биномиальному закону ( B(n = 1000, p = 0,01) ).
- Для дефекта В:
- Количество бракованных изделий будет распределено по биномиальному закону ( B(n = 1000, p = 0,02) ).
3. Оценка границ для бракованных изделий:
При использовании нормального приближения биномиального распределения (так как ( N ) большое), мы можем сделать оценку для границ вероятностей. Используем средние значения и стандартные отклонения:
Стандартное отклонение для дефекта А:
[
\sigma(A) = \sqrt{N \cdot P(A) \cdot (1 - P(A))} = \sqrt{1000 \cdot 0,01 \cdot (1 - 0,01)} \approx \sqrt{9,9} \approx 3,14
]
Стандартное отклонение для дефекта В:
[
\sigma(B) = \sqrt{N \cdot P(B) \cdot (1 - P(B))} = \sqrt{1000 \cdot 0,02 \cdot (1 - 0,02)} \approx \sqrt{19,6} \approx 4,43
]
4. Определяем границы:
Так как нам сказано о доверительной вероятности ( 0,997 ), мы можем взять ( Z )-значение для нормального распределения (( Z \approx 2,97 ) для ( P = 0,997 )) и выразить границы.
Для дефекта А:
[
\text{Границы}_A = E(A) \pm Z \cdot \sigma(A) \approx 10 \pm 2,97 \cdot 3,14
]
[
\text{Границы}_A \approx 10 \pm 9,31 \implies [0,69; 19,31]
]
Для дефекта В:
[
\text{Границы}_B = E(B) \pm Z \cdot \sigma(B) \approx 20 \pm 2,97 \cdot 4,43
]
[
\text{Границы}_B \approx 20 \pm 13,14 \implies [6,86; 33,14]
]
Вывод:
Вероятно, что количество бракованных изделий с дефектом А будет находиться в пределах от 1 до 19, а с дефектом В — от 7 до 33. Эти оцениваемые границы учитывают заданную вероятность практической достоверности.
