2x+7y=1 x-3y=2 выяснить Имеет ли решение системы уравнений

Чтобы выяснить, имеет ли решение система уравнений, воспользуемся методом определения ранга матрицы. У нас есть два уравнения:

1. \( 2x + 7y = 1 \)
2. \( x - 3y = 2 \)

Сначала запишем систему в матричной форме. Мы можем составить расширенную матрицу системы:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 7 & | & 1 \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Теперь мы можем использовать метод Гаусса для приведения этой матрицы к ступенчатому виду.

Шаг 1: Приведение матрицы к ступенчатому виду

1. В первую строку мы можем оставить как есть.

\[ \begin{pmatrix} 2 & 7 & | & 1 \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \]

2. Мы можем сделать так, чтобы второй элемент первой строки (2) стал 1. Для этого разделим первую строку на 2:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Приведем обе строки к общему виду

3. Теперь вычтем первую строку из второй строки:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{13}{2} & | & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Решение системы

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x + \frac{7}{2}y = \frac{1}{2} \)
2. \( -\frac{13}{2}y = \frac{3}{2} \)

Из второго уравнения можно выразить \( y \):

\(-\frac{13}{2}y = \frac{3}{2} \)

Теперь умножим обе стороны на \(-\frac{2}{13}\):

\[ y = -\frac{3}{13} \]

После нахождения \( y \), можно подставить его значение во первое уравнение:

\[ x + \frac{7}{2}\left(-\frac{3}{13}\right) = \frac{1}{2} \] \[ x - \frac{21}{26} = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{1}{2} + \frac{21}{26} \]

Переведем \( \frac{1}{2} \) в дробь с общим знаменателем 26:

\[ \frac{1}{2} = \frac{13}{26} \] Тогда: \[ x = \frac{13}{26} + \frac{21}{26} = \frac{34}{26} = \frac{17}{13} \]

Ответ

Система уравнений: \[ x = \frac{17}{13}, \quad y = -\frac{3}{13} \]

Таким образом, система уравнений имеет решение.