2x+7y=1 x-3y=2 выяснить Имеет ли решение системы уравнений

Чтобы выяснить, имеет ли решение система уравнений, воспользуемся методом определения ранга матрицы. У нас есть два уравнения: 1) \( 2x + 7y = 1 \) 2) \( x - 3y = 2 \) Сначала запишем систему в матричной форме. Мы можем составить расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 2 & 7 & | & 1 \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \] Теперь мы можем использовать метод Гаусса для приведения этой матрицы к ступенчатому виду. ### Шаг 1: Приведение матрицы к ступенчатому виду 1. **В первую строку мы можем оставить как есть.** \[ \begin{pmatrix} 2 & 7 & | & 1 \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \] 2. **Мы можем сделать так, чтобы второй элемент первой строки (2) стал 1.** Для этого разделим первую строку на 2: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 1 & -3 & | & 2 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Приведем обе строки к общему виду 3. Теперь вычтем первую строку из второй строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{13}{2} & | & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Решение системы Теперь у нас есть система уравнений: 1) \( x + \frac{7}{2}y = \frac{1}{2} \) 2) \( -\frac{13}{2}y = \frac{3}{2} \) Из второго уравнения можно выразить \( y \): \(-\frac{13}{2}y = \frac{3}{2} \) Теперь умножим обе стороны на \(-\frac{2}{13}\): \[ y = -\frac{3}{13} \] После нахождения \( y \), можно подставить его значение во первое уравнение: \[ x + \frac{7}{2}\left(-\frac{3}{13}\right) = \frac{1}{2} \] \[ x - \frac{21}{26} = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{1}{2} + \frac{21}{26} \] Переведем \( \frac{1}{2} \) в дробь с общим знаменателем 26: \[ \frac{1}{2} = \frac{13}{26} \] Тогда: \[ x = \frac{13}{26} + \frac{21}{26} = \frac{34}{26} = \frac{17}{13} \] ### Ответ Система уравнений: \[ x = \frac{17}{13}, \quad y = -\frac{3}{13} \] Таким образом, система уравнений имеет решение.