Найдите седьмой член и сумму первых семи членов арифметической прогрессии (an) , если a1= 5, a2=11.

Для решения этой задачи начнем с понимания того, что такое арифметическая прогрессия (АП). АП — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии (d).

Шаг 1: Найдем разность прогрессии

Даны первые два члены:

• \( a_1 = 5 \)
• \( a_2 = 11 \)

Разность \( d \) между вторым и первым членами будет равна:

\[ d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6 \]

Шаг 2: Найдем седьмой член

Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии определяется как:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Чтобы найти седьмой член \( a_7 \):

\[ a_7 = a_1 + (7 - 1) \cdot d \] \[ a_7 = 5 + (6) \cdot 6 \] \[ a_7 = 5 + 36 = 41 \]

Шаг 3: Найдем сумму первых семи членов

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( n \) — количество членов,
• \( a_1 \) — первый член,
• \( a_n \) — \( n \)-й член.

Теперь можем подставить значения для нахождения суммы первых 7 членов:

\[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (a_1 + a_7) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (5 + 41) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot 46 \] \[ S_7 = \frac{7 \cdot 46}{2} \] \[ S_7 = \frac{322}{2} = 161 \]

Ответ

Таким образом, мы нашли:

• Седьмой член \( a_7 = 41 \)
• Сумма первых 7 членов \( S_7 = 161 \)