В треугольнике ABC угол С равен 90°, cos B= 2/13, AB=39. Найдите BC

Давайте решим задачу поиск значения стороны BC в прямоугольном треугольнике ABC, в котором угол C равен 90°, cos B равен \( \frac{2}{13} \), и длина стороны AB равна 39. 1. **Записываем условия задачи**: - В треугольнике ABC угол C равен 90° - cos B = \( \frac{2}{13} \) - AB = 39 2. **Обозначения**: - Пусть AB = c (гипотенуза треугольника) - AC = b (соседняя сторона к углу B) - BC = a (противолежащая сторона к углу B) Соответственно, угол B – это угол между сторонами AC и AB, а угол A – это угол между сторонами BC и AB. 3. **Используем определение косинуса**: В прямоугольном треугольнике косинус угла B можно выразить через длины сторон: \[ \cos B = \frac{\text{длина соседней стороны}}{\text{длина гипотенузы}} = \frac{AC}{AB} \] Подставляем наши значения: \[ \frac{2}{13} = \frac{AC}{39} \] 4. **Находим длину стороны AC**: Перемножим обе стороны уравнения на 39: \[ AC = 39 \cdot \frac{2}{13} \] Упрощаем: \[ AC = 39 \cdot \frac{2}{13} = 3 \cdot 2 = 6 \] Теперь нам известна длина одной из катетов: AC = 6. 5. **Находим длину стороны BC**: Теперь, зная катет AC и применение теоремы Пифагора, можем найти длину стороны BC (a): \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим известные значения: \[ 39^2 = BC^2 + AC^2 \] \[ 1521 = BC^2 + 6^2 \] \[ 1521 = BC^2 + 36 \] Выразим BC^2: \[ BC^2 = 1521 - 36 \] \[ BC^2 = 1485 \] 6. **Находим BC**: Теперь найдем BC, взяв квадратный корень из 1485: \[ BC = \sqrt{1485} \] Можно упростить \( 1485 \): \[ 1485 = 3^3 \cdot 5 \cdot 11 \] Тогда: \[ BC = 3 \sqrt{165} \] Для оценки: \[ \sqrt{165} \approx 12.845 \] Соответственно: \[ BC \approx 3 \cdot 12.845 \approx 38.535 \] Таким образом, длина стороны BC примерно равна 38.54 (если округлить до двух знаков после запятой).