1) Решить неравенство x ^ 6 >= 1 . 2) Решить уравнение (1/6) ^ x > 36 3) Вычислить log3 243. 4) На вклад помещены денежные средства в размере Р рублей. Начисления осуществляются по схеме сложных процентов, годовая процентная ставка составляет 13%. Через сколько лет денежные средства увеличатся в три раза? Дать точный ответ, используя натуральный или десятичный логарифм. 5) Вычислить sin((15pi)/2) 6) Решить уравнение sin x = sqrt(2)

Давайте решим каждую из задач по порядку, предоставляя подробные объяснения. ### 1) Решить неравенство \( x^6 \geq 1 \). **Решение:** 1. Мы можем переписать неравенство, выделив корень: \[ x^6 - 1 \geq 0 \] Это можно разложить на множители: \[ (x^3 - 1)(x^3 + 1) \geq 0 \] 2. Находим корни: - \( x^3 - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \). - \( x^3 + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \). 3. Теперь мы имеем два критических значения \(x = -1\) и \(x = 1\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((-\infty, -1)\), \((-1, 1)\) и \((1, +\infty)\). 4. Проверяем знак на каждом интервале: - Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ (-2)^6 > 1 \quad \text{(положительно)} \] - Для \(-1 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^6 < 1 \quad \text{(отрицательно)} \] - Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \[ 2^6 > 1 \quad \text{(положительно)} \] 5. Итак, неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \). **Ответ:** \( x \leq -1 \) или \( x \geq 1 \). --- ### 2) Решить уравнение \( \left(\frac{1}{6}\right)^x > 36 \). **Решение:** 1. Переписываем уравнение в виде: \[ \frac{1}{6^x} > 36 \] или \[ 6^{-x} > 6^2 \] 2. Изменим знак неравенства при переходе к логарифму: \[ -x < 2 \] или \[ x > -2 \] **Ответ:** \( x > -2 \). --- ### 3) Вычислить \( \log_3 243 \). **Решение:** 1. Найдем, чему равно \(243\) в степени 3: \[ 243 = 3^5 \] 2. Используем это знание в логарифме: \[ \log_3 243 = \log_3(3^5) = 5 \] **Ответ:** \( 5 \). --- ### 4) На вклад помещены денежные средства в размере \( P \) рублей. Начисления осуществляются по схеме сложных процентов, годовая процентная ставка составляет 13%. Через сколько лет денежные средства увеличатся в три раза? **Решение:** Используем формулу сложных процентов: \[ A = P(1 + r)^t \] где: - \(A\) — конечная сумма, - \(P\) — начальная сумма, - \(r\) — годовая ставка, - \(t\) — время в годах. Мы хотим, чтобы: \[ 3P = P(1 + 0.13)^t \] Сокращаем на \(P\) (предполагая \(P > 0\)): \[ 3 = (1.13)^t \] Теперь применим логарифм к обоим сторонам: \[ \log(3) = t \log(1.13) \] Тогда: \[ t = \frac{\log(3)}{\log(1.13)} \] **Вычислим:** (используем калькулятор) - \(\log(3) \approx 0.4771\) - \(\log(1.13) \approx 0.0531\) Тогда: \[ t \approx \frac{0.4771}{0.0531} \approx 8.98 \approx 9 \text{ лет} \] **Ответ:** Через приблизительно 9 лет. --- ### 5) Вычислить \( \sin\left(\frac{15\pi}{2}\right) \). **Решение:** 1. Приведем угол к более простому значению. Поскольку \( \sin \) периодичен с периодом \(2\pi\): \[ \frac{15\pi}{2} = 2\pi \cdot 3 + \frac{3\pi}{2} \] То есть нам нужно найти: \[ \sin\left(\frac{15\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \] 2. Зная координаты точки на окружности: \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\). **Ответ:** \( -1 \). --- ### 6) Решить уравнение \( \sin x = \sqrt{2} \). **Решение:** 1. Так как значение \(\sin x\) находится в диапазоне от \(-1\) до \(1\), уравнение \( \sin x = \sqrt{2} \) не имеет решений, поскольку \(\sqrt{2} \approx 1.414\) больше 1. **Ответ:** Нет решений.