найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x+3,y=-x+1,y=0

Давайте разберем задачу по шагам: нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x + 3\), \(y = -x + 1\) и \(y = 0\).

Шаг 1: Построим графики функций

1. График \(y = x + 3\):

   • Пересекает ось Y в точке (0, 3).
   • Имеет угловой коэффициент 1, т.е. функция растет.

2. График \(y = -x + 1\):

   • Пересекает ось Y в точке (0, 1).
   • Имеет угловой коэффициент -1, т.е. функция убывает.

3. График \(y = 0\): это просто ось X.

Шаг 2: Находим точки пересечения

Чтобы найти точки пересечения линий, приравняем их.

1. Пересечение \(y = x + 3\) и \(y = -x + 1\): \[ x + 3 = -x + 1 \] \[ 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Подставим \(x = -1\) в одно из уравнений, например, в \(y = x + 3\): \[ y = -1 + 3 = 2 \] Точка пересечения: \((-1, 2)\).

2. Пересечение \(y = x + 3\) и \(y = 0\): \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] Точка: \((-3, 0)\).

3. Пересечение \(y = -x + 1\) и \(y = 0\): \[ -x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Точка: \((1, 0)\).

Шаг 3: Определяем область

Теперь у нас есть три точки:

• \((-3, 0)\)
• \((-1, 2)\)
• \((1, 0)\)

Эти точки образуют треугольник. Чтобы найти площадь этого треугольника, можно использовать формулу для площади многоугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]

Где:

• \((x_1, y_1) = (-3, 0)\)
• \((x_2, y_2) = (-1, 2)\)
• \((x_3, y_3) = (1, 0)\)

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| -3(2 - 0) + -1(0 - 0) + 1(0 - 2) \right| \]

\[ = \frac{1}{2} \left| -3 \cdot 2 + 0 - 2 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -6 - 2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 4 квадратным единицам.