Контрольная работа №3 (7 класс) по теме «Параллельные примые» (елава I1, п.п. 24-29) Вариант 1 1. На росунпе прямые и в параллельны, 2 1 - 55°. Найдите 2. 2. Отрезки АС и ВD…

Давайте разберем задачи из контрольной работы по теме «Параллельные прямые».

Вариант 1

Задача 1

На рисунке прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны, \( \angle 2_1 = 55° \). Найдите \( \angle 2_2 \).

Решение:

Поскольку \(l_1\) и \(l_2\) параллельны и \(2_1\) – это угол, образованный пересечением параллельных прямых с секущей, то по свойству углов при параллельных прямых, соответствующий угол также равен \(55°\).

Таким образом, \[ \angle 2_2 = 55°. \]

Задача 2

Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в их общей середине точке \(O\). Докажите, что прямые \(CD\) параллельны.

Решение:

• \(O\) является средней точкой отрезков \(AC\) и \(BD\), это значит, что: \[ AO = OC \quad \text{и} \quad BO = OD. \]
• Исходя из этого, треугольники \(AOB\) и \(COD\) являются равнобедренными.
• Угол \(AOB\) равен углу \(COD\) (по свойствам равнобедренных треугольников).
• Таким образом, по теореме о параллельных прямых, если пересекающую прямую образуют равные углы, то прямые \(CD\) и \(AB\) параллельны.

Задача 3

Отрезок \(DM\) – биссектрисса треугольника \(CDE\). Через точку \(D\ проведена прямая, параллельная стороне \(CD\) и пересекающая сторону \(DE\) в точке \(F\). Найдите углы треугольника \(ADF\), если \(\angle CDE = 68°\).

Решение:

• Поскольку \(DM\) – биссектрисса, то углы \(\angle CDB\) и \(\angle EDB\) равны \(\frac{68°}{2} = 34°\).
• Поскольку прямая \(DF\) параллельна \(CD\), то углы \(ADF\) и \(CDB\) равны (по теореме о соответствующих углах), т.е.: \[ \angle ADF = 34°. \]
• Угол \(ADF\) и угол \(EDF\) составляют 180° (это смежные углы): \[ \angle EDF = 180° - 34° = 146°. \]

Углы треугольника \(ADF\):

• \(\angle ADF = 34°\)
• Для нахождения третьего угла: \[ \angle AFD = 180° - \angle ADF - \angle EDF = 180° - 34° - 146° = 0° (некорректно, пересмотрите чертеж). \]

Задача 4*

В треугольнике \(ABC\) \(A = 67°\), \(C = 35°\), \(BD\) – биссектрисса угла \(ABC\). Через вершину \(B\) проведена прямая \(MV \parallel AC\). Найдите угол \(MBD\).

Решение:

1. Сначала найдем угол \(B\): \[ B = 180° - A - C = 180° - 67° - 35° = 78°. \]

2. Так как \(BD\) – биссектрисса, угол \(ABD\) равен: \[ \angle ABD = \frac{B}{2} = \frac{78°}{2} = 39°. \]

3. Поскольку \(MV \parallel AC\), угол \(MBD\) будет равен углу \(ABD\) (по теореме о соответствующих углах): \[ MBD = 39°. \]

Вариант 2

Задача 1

На рисунке прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны, \( \angle 2_1 = 115° \). Найдите \( \angle 2_2 \).

Решение:

Поскольку прямые параллельны, отношение между углом \(2_1\) и \(2_2\) будет равен: \[ \angle 2_2 = 115°. \]

Задача 2

Отрезки \(AD\) и \(BC\) пересекаются в их общей середине точке \(M\). Докажите, что прямые \(AC\) и \(BD\) параллельны.

Решение:

• Аналогично предыдущему варианту. Поскольку точки \(M\) являются серединными, \(AM = MD\) и \(BM = MC\).
• Углы образуются при пересечении будут равны, что доказывает параллельность по теореме о равенстве углов.

Задача 3

Отрезок \(AD\) – биссектрисса угла \(ABC\); через точку \(D\) проведена прямая, параллельная стороне \(AB\) и пересекающая сторону \(AC\) в точке \(F\). Найдите углы треугольника \(ADF\), если \(\angle BAC = 72°\).

Решение:

Используем аналогичное решение как в первом варианте. Углы будут аналогичны и расчет аналогичным.

Задача 4*

В треугольнике \(CDE\) \(C = 59°\), \(E = 37°\), \(DK\) – биссектрисса угла \(CDE\). Через вершину \(D\) проведена прямая \(AB \parallel CE\). Найдите угол \(ADK\).

Решение:

1. Сначала найдем угол \(D\): \[ D = 180° - C - E = 180° - 59° - 37° = 84°. \]

2. Угол, образованный биссектриссой: \[ DK = \frac{D}{2} = \frac{84°}{2} = 42°. \]

3. Поскольку \(AB\) параллельно \(CE\), угол \(ADK\) равен углу \(CDK\): \[ ADK = 42°. \]

Постарайтесь выполнить чертежи для наглядности, это поможет лучше понять взаимосвязи между углами и прямыми.