Решим задачу о нахождении двух чисел, сумма которых равна 13, а произведение равно 40. Для этого мы можем использовать систему уравнений.
Обозначим два неизвестных числа как ( x ) и ( y ).
Согласно условию задачи, у нас есть две равенства:
- ( x + y = 13 ) (сумма)
- ( xy = 40 ) (произведение)
Теперь давайте выразим одно из чисел через другое. Из первого уравнения можем выразить ( y ):
[
y = 13 - x
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
x(13 - x) = 40
]
Теперь раскроем скобки:
[
13x - x^2 = 40
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
-x^2 + 13x - 40 = 0
]
Умножим обе стороны на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед ( x^2 ):
[
x^2 - 13x + 40 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -13 ), ( c = 40 ).
Подставим значения:
[
D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9
]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных решения. Теперь вычислим корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 3}{2}
]
Теперь найдем два корня:
- ( x_1 = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
- ( x_2 = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
Теперь мы нашли два числа: ( x = 8 ) и ( y = 5 ).
Таким образом, искомые числа:
- Первое число: 8
- Второе число: 5
Эти два числа удовлетворяют условиям задачи, так как их сумма равна 13 (8 + 5 = 13) и произведение равно 40 (8 × 5 = 40).
