Дана прямоугольная трапеция MNKP с основаниями NK и MP. Площадь этой трапеции равна 54 см². Из вершины K на основание MP опущена высота KH. Известно, что ∠HKP = 45°, KH = NK.…

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить формулы, связанные с трапециями, а также использовать свойства треугольников.

У нас есть прямая трапеция MNKP с основаниями NK и MP, где NK — меньшее основание, а MP — большее основание. Площадь трапеции \( S \) равна 54 см².

Шаг 1: Записываем формулу для площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

В нашей задаче:

• \( a = NK \)
• \( b = MP \)
• \( h = KH \)

Таким образом, мы можем записать: \[ 54 = \frac{(NK + MP) \cdot KH}{2} \]

Шаг 2: Используем данные о высоте и угле

Из условия задачи известно, что высота \( KH \) равна \( NK \) и угол \( \angle HKP = 45^\circ \). Это значит, что \( \triangle HKP \) является 45-градусным треугольником, и у него есть равные плечи: \( HK = KH \).

Поскольку \( KH = NK \), то:

\[ KH = h = NK \]

Шаг 3: Заменяем в формуле площади

Теперь подставим \( KH = NK \) в формулу для площади: \[ 54 = \frac{(NK + MP) \cdot NK}{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ 108 = (NK + MP) \cdot NK \]

Теперь раскроем скобки: \[ 108 = NK^2 + NK \cdot MP \]

Шаг 4: Найдем дополнительные отношения

Исходя из того, что \( \angle HKP = 45^\circ \), в прямоугольном треугольнике HKP можем записать: \[ HK = HP \] где \( HP = MP - MK \). Поскольку \( KH = NK \), то \( HP = NK \).

Следовательно, высота и сторона треугольника также равны: \[ MP - NK = NK \implies MP = 2NK \]

Шаг 5: Подставляем \( MP \) в уравнение площади

Теперь мы можем подставить \( MP = 2NK \) в наше уравнение: \[ 108 = NK^2 + NK \cdot (2NK) \] \[ 108 = NK^2 + 2NK^2 \] \[ 108 = 3NK^2 \] \[ NK^2 = \frac{108}{3} = 36 \] \[ NK = 6 \text{ см} \]

Шаг 6: Находим длину большего основания

Теперь используем найденная длину NK для нахождения MP: \[ MP = 2NK = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} \]

Ответ

Таким образом, длина большего основания трапеции \( MP \) равна \( 12 \) см.