Чтобы решить задачу о вероятности извлечения 3 желтых шариков из ящика с 5 красными и 4 желтыми шариками, давайте разберем процесс пошагово.
1. Определяем общее количество шариков
У нас есть:
- 5 красных шариков
- 4 желтых шарика
Общее количество шариков = 5 + 4 = 9.
2. Определяем общее количество способов выбрать 3 шарика
Количество способов выбрать 3 шарика из 9 можно рассчитать с помощью формулы сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
где ( C(n, k) ) — это число сочетаний, ( n ) — общее количество объектов, ( k ) — количество выбираемых объектов.
Здесь ( n = 9 ) (все шарики) и ( k = 3 ) (шарики, которые мы выбираем):
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9 - 3)!} = \frac{9!}{3!6!}
]
Раскроем факториалы:
[
C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84
]
Таким образом, существует 84 способа выбрать 3 шарика из 9.
3. Определяем количество благоприятных исходов
Чтобы все 3 извлеченных шарика были желтыми, мы должны выбрать их только из 4 желтых шариков. Снова используем формулу сочетаний:
Количество способов выбрать 3 желтых шарика из 4:
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4
]
4. Рассчитываем вероятность события
Вероятность того, что все 3 извлеченных шарика будут желтыми, можно вычислить по формуле:
[
P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}
]
Подставляем наши значения:
[
P(A) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}
]
5. Ответ
Вероятность того, что все 3 извлеченных шара будут желтыми, равна ( \frac{1}{21} ).
Таким образом, ответ на задачу: вероятность того, что все три шара будут желтыми, составляет ( \frac{1}{21} ), что можно также выразить примерно как 0.0476 (или 4.76% при переводе в проценты).
