11!÷5!×6!

Для решения задачи \( \frac{11!}{5! \times 6!} \) давайте разберёмся, что такое факториал и как его применять.

Определение факториала:

• Факториал числа \( n \) (обозначается \( n! \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \): \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]

Теперь найдем значение каждого из факториалов, участвующих в нашей задаче.

1. Вычисляем \( 11! \): \[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

2. Вычисляем \( 5! \): \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

3. Вычисляем \( 6! \): \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

Теперь подставим эти значения в нашу формулу:

\[ \frac{11!}{5! \times 6!} = \frac{11!}{120 \times 720} \]

Для упрощения вычислений, можем воспользоваться свойством факториалов. Заметим, что \( 11! \) можно разложить так:

\[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \]

Тогда наша формула приобретает следующий вид:

\[ \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5! \times 6!} \]

Мы можем сократить \( 6! \) в числителе и знаменателе:

\[ = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} \]

Теперь подставляем значение \( 5! = 120 \):

\[ = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} \]

Теперь давайте сначала вычислим числитель:

\[ 11 \times 10 = 110 \] \[ 110 \times 9 = 990 \] \[ 990 \times 8 = 7920 \] \[ 7920 \times 7 = 55440 \]

Теперь подставим получившийся числитель в формулу:

\[ \frac{55440}{120} \]

Выполним деление:

\[ 55440 \div 120 = 462 \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \boxed{462} \]