Вычисли площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x², прямыми y=0,x=4 и x=6

Чтобы вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямой \( y = 0 \) (ось абсцисс) и вертикальными прямыми \( x = 4 \) и \( x = 6 \), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Обозначим функцию и пределы интегрирования

Мы имеем функцию \( f(x) = x^2 \). Поскольку нас интересует область, расположенная между \( x = 4 \) и \( x = 6 \), мы будем интегрировать эту функцию по этому диапазону.

Шаг 2: Найдем определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла. Формула площади S будет следующей: \[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] где \( a = 4 \), \( b = 6 \).

Шаг 3: Запишем интеграл

Подставим нашу функцию в выражение для площади: \[ S = \int_{4}^{6} x^2 \, dx \]

Шаг 4: Вычислим определенный интеграл

Для нахождения интеграла \( \int x^2 \, dx \) используем формулу интегрирования: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] В нашем случае \( n = 2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл от 4 до 6: \[ \int_{4}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{4}^{6} \]

Шаг 5: Подставим пределы интегрирования

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{6^3}{3} - \frac{4^3}{3} \right] \]

Вычислим \( 6^3 \) и \( 4^3 \):

• \( 6^3 = 216 \)
• \( 4^3 = 64 \)

Теперь подставим в выражение: \[ S = \frac{216}{3} - \frac{64}{3} = \frac{216 - 64}{3} = \frac{152}{3} \]

Шаг 6: Получаем результат

Площадь S криволинейной трапеции равна: \[ S = \frac{152}{3} \approx 50.67 \]

Ответ

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), осью абсцисс и прямыми \( x = 4 \) и \( x = 6 \), составляет \( \frac{152}{3} \) или примерно \( 50.67 \) квадратных единиц.