Чтобы вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ( f(x) = x^2 ), прямой ( y = 0 ) (ось абсцисс) и вертикальными прямыми ( x = 4 ) и ( x = 6 ), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Обозначим функцию и пределы интегрирования
Мы имеем функцию ( f(x) = x^2 ). Поскольку нас интересует область, расположенная между ( x = 4 ) и ( x = 6 ), мы будем интегрировать эту функцию по этому диапазону.
Шаг 2: Найдем определенный интеграл
Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла. Формула площади S будет следующей:
[
S = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
где ( a = 4 ), ( b = 6 ).
Шаг 3: Запишем интеграл
Подставим нашу функцию в выражение для площади:
[
S = \int_{4}^{6} x^2 , dx
]
Шаг 4: Вычислим определенный интеграл
Для нахождения интеграла ( \int x^2 , dx ) используем формулу интегрирования:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
В нашем случае ( n = 2 ):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
Теперь вычислим определенный интеграл от 4 до 6:
[
\int_{4}^{6} x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{4}^{6}
]
Шаг 5: Подставим пределы интегрирования
Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
[
\left[ \frac{6^3}{3} - \frac{4^3}{3} \right]
]
Вычислим ( 6^3 ) и ( 4^3 ):
- ( 6^3 = 216 )
- ( 4^3 = 64 )
Теперь подставим в выражение:
[
S = \frac{216}{3} - \frac{64}{3} = \frac{216 - 64}{3} = \frac{152}{3}
]
Шаг 6: Получаем результат
Площадь S криволинейной трапеции равна:
[
S = \frac{152}{3} \approx 50.67
]
Ответ
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ( f(x) = x^2 ), осью абсцисс и прямыми ( x = 4 ) и ( x = 6 ), составляет ( \frac{152}{3} ) или примерно ( 50.67 ) квадратных единиц.
