(x - 2)/(x + 1) + (x + 1)/(x - 2) = 4 1/4

Чтобы решить уравнение \((x - 2)/(x + 1) + (x + 1)/(x - 2) = 4 \frac{1}{4}\), раскроем дроби и упростим его. ### Шаг 1: Преобразуем правую часть Сначала стоит перевести смешанное число \(4 \frac{1}{4}\) в неправильную дробь: \[ 4 \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} \] Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{4} \] ### Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Для сложения дробей слева, нам нужно найти общий знаменатель: Общий знаменатель будет \((x + 1)(x - 2)\). Записываем дроби с общим знаменателем: \[ \frac{(x - 2)(x - 2) + (x + 1)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \] Поясним, что произошло: 1. Умножим первую дробь на \((x - 2)\), а вторую на \((x + 1)\). 2. Теперь, подставляем это выражение в уравнение. ### Шаг 3: Упрощение числителя Теперь вычислим числитель: - Первая часть: \((x - 2)(x - 2) = x^2 - 4x + 4\) - Вторая часть: \((x + 1)(x + 1) = x^2 + 2x + 1\) Складываем их: \[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 5 \] Теперь у нас уравнение будет выглядеть так: \[ \frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \] ### Шаг 4: Устранение дробей Чтобы избавиться от дробей, перекрестно умножим обе стороны на \((x + 1)(x - 2)\): \[ 2x^2 - 2x + 5 = \frac{17}{4} \cdot (x + 1)(x - 2) \] ### Шаг 5: Упрощаем правую часть Теперь мы умножаем \(\frac{17}{4}\) на \((x^2 - x - 2)\): \[ \frac{17}{4}(x^2 - x - 2) = \frac{17x^2 - 17x - 34}{4} \] ### Шаг 6: Умножение обеих сторон на 4 Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от деления: \[ 4(2x^2 - 2x + 5) = 17x^2 - 17x - 34 \] Это упрощается до: \[ 8x^2 - 8x + 20 = 17x^2 - 17x - 34 \] ### Шаг 7: Перенос всех членов в одну сторону Теперь перенесем все на одну сторону уравнения: \[ 8x^2 - 8x + 20 - 17x^2 + 17x + 34 = 0 \] Упрощаем: \[ -9x^2 + 9x + 54 = 0 \] Теперь давайте умножим на \(-1\): \[ 9x^2 - 9x - 54 = 0 \] ### Шаг 8: Делим на 9 Сократим уравнение: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] ### Шаг 9: Решим квадратное уравнение Теперь решим это уравнение с помощью формулы для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\): \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \] ### Шаг 10: Находим корни Теперь найдем два значения: 1. \(x = \frac{1 + 5}{2} = 3\) 2. \(x = \frac{1 - 5}{2} = -2\) ### Итог Итак, решение уравнения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -2 \] Эти значения можно подставить обратно в исходное уравнение и проверить, что они удовлетворяют уравнению.