(x - 2)/(x + 1) + (x + 1)/(x - 2) = 4 1/4
Чтобы решить уравнение \((x - 2)/(x + 1) + (x + 1)/(x - 2) = 4 \frac{1}{4}\), раскроем дроби и упростим его.
Шаг 1: Преобразуем правую часть
Сначала стоит перевести смешанное число \(4 \frac{1}{4}\) в неправильную дробь:
\[ 4 \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{4} \]
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю
Для сложения дробей слева, нам нужно найти общий знаменатель:
Общий знаменатель будет \((x + 1)(x - 2)\).
Записываем дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{(x - 2)(x - 2) + (x + 1)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \]
Поясним, что произошло:
- Умножим первую дробь на \((x - 2)\), а вторую на \((x + 1)\).
- Теперь, подставляем это выражение в уравнение.
Шаг 3: Упрощение числителя
Теперь вычислим числитель:
- Первая часть: \((x - 2)(x - 2) = x^2 - 4x + 4\)
- Вторая часть: \((x + 1)(x + 1) = x^2 + 2x + 1\)
Складываем их:
\[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 5 \]
Теперь у нас уравнение будет выглядеть так:
\[ \frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \]
Шаг 4: Устранение дробей
Чтобы избавиться от дробей, перекрестно умножим обе стороны на \((x + 1)(x - 2)\):
\[ 2x^2 - 2x + 5 = \frac{17}{4} \cdot (x + 1)(x - 2) \]
Шаг 5: Упрощаем правую часть
Теперь мы умножаем \(\frac{17}{4}\) на \((x^2 - x - 2)\):
\[ \frac{17}{4}(x^2 - x - 2) = \frac{17x^2 - 17x - 34}{4} \]
Шаг 6: Умножение обеих сторон на 4
Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от деления:
\[ 4(2x^2 - 2x + 5) = 17x^2 - 17x - 34 \]
Это упрощается до:
\[ 8x^2 - 8x + 20 = 17x^2 - 17x - 34 \]
Шаг 7: Перенос всех членов в одну сторону
Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:
\[ 8x^2 - 8x + 20 - 17x^2 + 17x + 34 = 0 \]
Упрощаем:
\[ -9x^2 + 9x + 54 = 0 \]
Теперь давайте умножим на \(-1\):
\[ 9x^2 - 9x - 54 = 0 \]
Шаг 8: Делим на 9
Сократим уравнение:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Шаг 9: Решим квадратное уравнение
Теперь решим это уравнение с помощью формулы для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\):
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Шаг 10: Находим корни
Теперь найдем два значения:
- \(x = \frac{1 + 5}{2} = 3\)
- \(x = \frac{1 - 5}{2} = -2\)
Итог
Итак, решение уравнения:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -2 \]
Эти значения можно подставить обратно в исходное уравнение и проверить, что они удовлетворяют уравнению.
