Для решения задачи о квадратном уравнении, сумма корней которого равна 7, а произведение –8, будем использовать свойства корней квадратного уравнения.
Давайте обозначим корни уравнения как (x_1) и (x_2).
Шаг 1: Используем свойства суммы и произведения корней
Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0) с корнями (x_1) и (x_2) выполняются следующие равенства:
- Сумма корней: (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})
- Произведение корней: (x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})
В нашем случае:
[
x_1 + x_2 = 7
]
[
x_1 \cdot x_2 = -8
]
Шаг 2: Составляем квадратное уравнение
Сначала мы можем выразить (b) и (c) через (a). Для простоты возьмём (a = 1), тогда уравнение будет иметь вид:
[
x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0
]
Подставляя значения суммы и произведения корней:
[
x^2 - 7x - 8 = 0
]
Шаг 3: Проверяем правильность
Мы можем проверить правильность нашего уравнения, найдя его корни:
Дискриминант
Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81
]
Находим корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}
]
Корни
- Первый корень:
[
x_1 = \frac{16}{2} = 8
]
- Второй корень:
[
x_2 = \frac{-2}{2} = -1
]
Теперь проверим сумму и произведение корней:
- Сумма: (8 + (-1) = 7)
- Произведение: (8 \cdot (-1) = -8)
Ответ
Таким образом, квадратное уравнение, сумма корней которого равна 7, а произведение равно -8, будет:
[
x^2 - 7x - 8 = 0
]
