Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 7, а произведение - числу -8.

Для решения задачи о квадратном уравнении, сумма корней которого равна 7, а произведение –8, будем использовать свойства корней квадратного уравнения.

Давайте обозначим корни уравнения как \(x_1\) и \(x_2\).

Шаг 1: Используем свойства суммы и произведения корней

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) выполняются следующие равенства:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В нашем случае:

\[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -8 \]

Шаг 2: Составляем квадратное уравнение

Сначала мы можем выразить \(b\) и \(c\) через \(a\). Для простоты возьмём \(a = 1\), тогда уравнение будет иметь вид:

\[ x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 \]

Подставляя значения суммы и произведения корней:

\[ x^2 - 7x - 8 = 0 \]

Шаг 3: Проверяем правильность

Мы можем проверить правильность нашего уравнения, найдя его корни:

Дискриминант

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \]

2. Находим корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2} \]

Корни

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \]
2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь проверим сумму и произведение корней:

• Сумма: \(8 + (-1) = 7\)
• Произведение: \(8 \cdot (-1) = -8\)

Ответ

Таким образом, квадратное уравнение, сумма корней которого равна 7, а произведение равно -8, будет:

\[ x^2 - 7x - 8 = 0 \]