В треугольнике A B C ABC угол A A равен 4 5 ∘ , 45 ∘ , угол B B равен 3 0 ∘ , 30 ∘ , B C = 6 2 . BC=6 2 . Найдите A C . AC.

Решим задачу по нахождению стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с известными углами \( A \) и \( B \) и стороной \( BC \). ### Дано: - Угол \( A = 45^\circ \) - Угол \( B = 30^\circ \) - Длина стороны \( BC = 62 \) ### Шаг 1: Найдем угол \( C \) По свойству треугольника сумма его углов равна \( 180^\circ \). Следовательно, можем найти угол \( C \): \[ C = 180^\circ - A - B \] \[ C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \] ### Шаг 2: Применим Закон синусов Закон синусов утверждает, что для любого треугольника выполняется соотношение: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \( a \), \( b \), и \( c \) - длины сторон, противолежащих углам \( A \), \( B \), и \( C \) соответственно. В нашем случае: - \( a = AC \) - \( b = AB \) - \( c = BC = 62 \) Мы можем выразить \( AC \) через сторону \( BC \): \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C} \] Подставим известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{62}{\sin 105^\circ} \] ### Шаг 3: Найдем синусы углов Значения синусов углов: - \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin 105^\circ = \sin (90^\circ + 15^\circ) = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \) (поскольку \( \cos 90^\circ = 0 \)) Для \( \cos 15^\circ \): \[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Мы можем использовать более простое значение для \( \sin 105^\circ \): \[ \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] ### Шаг 4: Подставим значения в уравнение Теперь подставим найденные значения в наше уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{62}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Упростим правую часть: \[ \frac{62 * 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{248}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Таким образом, у нас получается: \[ AC = \frac{248 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ AC = \frac{124 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] ### Заключение Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \[ AC = \frac{124 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 61.82 \text{ (приблизительное значение)} \] Это и будет ответ на задачу.