В треугольнике A B C ABC угол A A равен 4 5 ∘ , 45 ∘ , угол B B равен 3 0 ∘ , 30 ∘ , B C = 6 2 . BC=6 2 . Найдите A C . AC.

Решим задачу по нахождению стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с известными углами \( A \) и \( B \) и стороной \( BC \).

Дано:

• Угол \( A = 45^\circ \)
• Угол \( B = 30^\circ \)
• Длина стороны \( BC = 62 \)

Шаг 1: Найдем угол \( C \)

По свойству треугольника сумма его углов равна \( 180^\circ \). Следовательно, можем найти угол \( C \):

\[ C = 180^\circ - A - B \] \[ C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

Шаг 2: Применим Закон синусов

Закон синусов утверждает, что для любого треугольника выполняется соотношение:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где \( a \), \( b \), и \( c \) - длины сторон, противолежащих углам \( A \), \( B \), и \( C \) соответственно.

В нашем случае:

• \( a = AC \)
• \( b = AB \)
• \( c = BC = 62 \)

Мы можем выразить \( AC \) через сторону \( BC \):

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C} \] Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{62}{\sin 105^\circ} \]

Шаг 3: Найдем синусы углов

Значения синусов углов:

• \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 105^\circ = \sin (90^\circ + 15^\circ) = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \) (поскольку \( \cos 90^\circ = 0 \))

Для \( \cos 15^\circ \): \[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Мы можем использовать более простое значение для \( \sin 105^\circ \): \[ \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 4: Подставим значения в уравнение

Теперь подставим найденные значения в наше уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{62}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{62 * 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{248}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Таким образом, у нас получается:

\[ AC = \frac{248 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ AC = \frac{124 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Заключение

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна

\[ AC = \frac{124 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 61.82 \text{ (приблизительное значение)} \]

Это и будет ответ на задачу.