Найдите максимальное значение функции y = 21+18x-3x2 на промежутке -6 ≤ x ≤ 10
Чтобы найти максимальное значение функции \( y = 21 + 18x - 3x^2 \) на заданном промежутке \( -6 \leq x \leq 10 \), выполняем следующие шаги:
Шаг 1: Определим функцию
Исходим из функции: \[ y = 21 + 18x - 3x^2 \] Эта функция представляет собой параболу, открывающуюся вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).
Шаг 2: Найдем производную
Мы находим производную функции для определения критических точек, где максимумы и минимумы могут происходить: \[ \frac{dy}{dx} = 18 - 6x \]
Шаг 3: Найдем критические точки
Приравняем производную к нулю: \[ 18 - 6x = 0 \] Решим уравнение: \[ 6x = 18 \\ x = 3 \] Таким образом, точка \( x = 3 \) - это критическая точка.
Шаг 4: Проверим границы промежутка
Мы должны также проверить значение функции на границах промежутка \( x = -6 \) и \( x = 10 \).
Шаг 5: Вычислим значения функции
Теперь найдём значения функции в критической точке и на границах промежутка.
\( y(-6) = 21 + 18(-6) - 3(-6)^2 \) \[ = 21 - 108 - 3 \cdot 36 \\ = 21 - 108 - 108 \\ = 21 - 216 \\ = -195 \]
\( y(3) = 21 + 18(3) - 3(3)^2 \) \[ = 21 + 54 - 27 \\ = 21 + 54 - 27 \\ = 48 \]
\( y(10) = 21 + 18(10) - 3(10)^2 \) \[ = 21 + 180 - 300 \\ = 201 - 300 \\ = -99 \]
Шаг 6: Сравним результаты
Теперь у нас есть 3 значения:
- \( y(-6) = -195 \)
- \( y(3) = 48 \)
- \( y(10) = -99 \)
Шаг 7: Определим максимальное значение
На основе вычислений, максимальное значение функции на данным промежутке происходит в точке \( x = 3 \): \[ \text{Максимальное значение } y = 48 \]
Ответ
Максимальное значение функции \( y = 21 + 18x - 3x^2 \) на промежутке \( -6 \leq x \leq 10 \) равно \( 48 \).
