Чтобы найти максимальное значение функции ( y = 21 + 18x - 3x^2 ) на заданном промежутке ( -6 \leq x \leq 10 ), выполняем следующие шаги:
Шаг 1: Определим функцию
Исходим из функции:
[
y = 21 + 18x - 3x^2
]
Эта функция представляет собой параболу, открывающуюся вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный).
Шаг 2: Найдем производную
Мы находим производную функции для определения критических точек, где максимумы и минимумы могут происходить:
[
\frac{dy}{dx} = 18 - 6x
]
Шаг 3: Найдем критические точки
Приравняем производную к нулю:
[
18 - 6x = 0
]
Решим уравнение:
[
6x = 18 \
x = 3
]
Таким образом, точка ( x = 3 ) - это критическая точка.
Шаг 4: Проверим границы промежутка
Мы должны также проверить значение функции на границах промежутка ( x = -6 ) и ( x = 10 ).
Шаг 5: Вычислим значения функции
Теперь найдём значения функции в критической точке и на границах промежутка.
( y(-6) = 21 + 18(-6) - 3(-6)^2 )
[
= 21 - 108 - 3 \cdot 36 \
= 21 - 108 - 108 \
= 21 - 216 \
= -195
]
( y(3) = 21 + 18(3) - 3(3)^2 )
[
= 21 + 54 - 27 \
= 21 + 54 - 27 \
= 48
]
( y(10) = 21 + 18(10) - 3(10)^2 )
[
= 21 + 180 - 300 \
= 201 - 300 \
= -99
]
Шаг 6: Сравним результаты
Теперь у нас есть 3 значения:
- ( y(-6) = -195 )
- ( y(3) = 48 )
- ( y(10) = -99 )
Шаг 7: Определим максимальное значение
На основе вычислений, максимальное значение функции на данным промежутке происходит в точке ( x = 3 ):
[
\text{Максимальное значение } y = 48
]
Ответ
Максимальное значение функции ( y = 21 + 18x - 3x^2 ) на промежутке ( -6 \leq x \leq 10 ) равно ( 48 ).
