найди сумму первых 11 членов геометрической прогрессии (bn),если b1=11,q=-2

Рассмотрим задачу о нахождении суммы первых 11 членов геометрической прогрессии.

1. Определение членов геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на некоторое фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

   В данной задаче:

   • Первый член \( b_1 = 11 \)
   • Знаменатель прогрессии \( q = -2 \)

2. Формула для n-го члена геометрической прогрессии: Формула для n-го члена геометрической прогрессии записывается как: \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

3. Выразим первые 11 членов: Используя формулу, найдем первые 11 членов (для \( n = 1, 2, \ldots, 11 \)):

   • \( b_1 = 11 \cdot (-2)^{0} = 11 \)
   • \( b_2 = 11 \cdot (-2)^{1} = 11 \cdot (-2) = -22 \)
   • \( b_3 = 11 \cdot (-2)^{2} = 11 \cdot 4 = 44 \)
   • \( b_4 = 11 \cdot (-2)^{3} = 11 \cdot (-8) = -88 \)
   • \( b_5 = 11 \cdot (-2)^{4} = 11 \cdot 16 = 176 \)
   • \( b_6 = 11 \cdot (-2)^{5} = 11 \cdot (-32) = -352 \)
   • \( b_7 = 11 \cdot (-2)^{6} = 11 \cdot 64 = 704 \)
   • \( b_8 = 11 \cdot (-2)^{7} = 11 \cdot (-128) = -1408 \)
   • \( b_9 = 11 \cdot (-2)^{8} = 11 \cdot 256 = 2816 \)
   • \( b_{10} = 11 \cdot (-2)^{9} = 11 \cdot (-512) = -5632 \)
   • \( b_{11} = 11 \cdot (-2)^{10} = 11 \cdot 1024 = 11264 \)

4. Суммируем первые 11 членов: Теперь найдем сумму вычисленных членов: \[ S_{11} = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10} + b_{11} \]

   Подставим значения: \[ S_{11} = 11 - 22 + 44 - 88 + 176 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \]

   Вычислим по порядку: \[ S_{11} = (11 - 22) + 44 - 88 + 176 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = -11 + 44 - 88 + 176 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = 33 - 88 + 176 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = -55 + 176 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = 121 - 352 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = -231 + 704 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = 473 - 1408 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = -935 + 2816 - 5632 + 11264 \] \[ = 1881 - 5632 + 11264 \] \[ = -3751 + 11264 \] \[ = 7501 \]

Таким образом, сумма первых 11 членов геометрической прогрессии равна \( S_{11} = 7501 \).