Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу

Для доказательства утверждения о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу, начнём с формулировки:

Утверждение:

Если в двух прямоугольных треугольниках один катет и противолежащий ему угол равны соответственно, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника \( ABC \) и \( A'B'C' \), в которых:

• \( AB = A'B' \) (катет),
• угол \( \angle ACB = \angle A'C'B' \) (противолежащий угол).

В каждом из этих треугольников угол \( ACB \) и \( A'C'B' \) равен 90°.

Теперь, отмечаем следующее:

1. По определению: Поскольку оба треугольника являются прямоугольными, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников.

2. Рассмотрим соотношения: В прямоугольном треугольнике, если известен один катет и противолежащий ему угол, можно найти длину гипотенузы и другой катет с помощью тригонометрических функций. Мы используем синусы и косинусы:

   • В треугольнике \( ABC \):

     • \( \sin(\angle ACB) = \frac{BC}{AB} \)
     • \( \cos(\angle ACB) = \frac{AC}{AB} \)

   • В треугольнике \( A'B'C' \):

     • \( \sin(\angle A'C'B') = \frac{B'C'}{A'B'} \)
     • \( \cos(\angle A'C'B') = \frac{A'C'}{A'B'} \)

3. Поскольку углы равны: У нас есть два равных угла, и один катет ещё тоже равен. Поэтому можем записать равенства для других сторон.

4. Гипотенузы: Поскольку используется одно и то же значение \( AB \), мы можем записать:

   • \( BC = A'B' \cdot \sin(\angle ACB) \)
   • \( AC = A'B' \cdot \cos(\angle ACB) \)

Таким образом, стороны \( AC \) и \( BC \) в треугольнике \( ABC \) равны соответственно сторонам \( A'C' \) и \( B'C' \) в треугольнике \( A'B'C' \).

5. Заключение: Мы доказали, что если один катет и противолежащий угол равны в двух прямоугольных треугольниках, то они равны по всем сторонам и углам.

Итог:

Таким образом, треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) равны по признаку равенства прямоугольных треугольников, который гласит, что они равны по катету и противолежащему углу.

Это завершает доказательство.