Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу

Для доказательства утверждения о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу, начнём с формулировки: ### Утверждение: Если в двух прямоугольных треугольниках один катет и противолежащий ему угол равны соответственно, то такие треугольники равны. ### Доказательство: Рассмотрим два прямоугольных треугольника \( ABC \) и \( A'B'C' \), в которых: - \( AB = A'B' \) (катет), - угол \( \angle ACB = \angle A'C'B' \) (противолежащий угол). В каждом из этих треугольников угол \( ACB \) и \( A'C'B' \) равен 90°. Теперь, отмечаем следующее: 1. **По определению:** Поскольку оба треугольника являются прямоугольными, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников. 2. **Рассмотрим соотношения:** В прямоугольном треугольнике, если известен один катет и противолежащий ему угол, можно найти длину гипотенузы и другой катет с помощью тригонометрических функций. Мы используем синусы и косинусы: - В треугольнике \( ABC \): - \( \sin(\angle ACB) = \frac{BC}{AB} \) - \( \cos(\angle ACB) = \frac{AC}{AB} \) - В треугольнике \( A'B'C' \): - \( \sin(\angle A'C'B') = \frac{B'C'}{A'B'} \) - \( \cos(\angle A'C'B') = \frac{A'C'}{A'B'} \) 3. **Поскольку углы равны:** У нас есть два равных угла, и один катет ещё тоже равен. Поэтому можем записать равенства для других сторон. 4. **Гипотенузы**: Поскольку используется одно и то же значение \( AB \), мы можем записать: - \( BC = A'B' \cdot \sin(\angle ACB) \) - \( AC = A'B' \cdot \cos(\angle ACB) \) Таким образом, стороны \( AC \) и \( BC \) в треугольнике \( ABC \) равны соответственно сторонам \( A'C' \) и \( B'C' \) в треугольнике \( A'B'C' \). 5. **Заключение**: Мы доказали, что если один катет и противолежащий угол равны в двух прямоугольных треугольниках, то они равны по всем сторонам и углам. ### Итог: Таким образом, треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) равны по признаку равенства прямоугольных треугольников, который гласит, что они равны по катету и противолежащему углу. Это завершает доказательство.