Реши уравнение: 3�2−237�+27=03x2−273x+72=0 . Запиши корни в порядке убывания. Для обозначения обыкновенной дроби используй /.
Давайте решим уравнение \(3x^2 - 27x + 27 = 0\) и найдем его корни в порядке убывания.
Шаг 1: Приведение уравнения к нормальному виду
Первое, что мы можем сделать, это упростить уравнение. Заметим, что все коэффициенты делятся на 3. Разделим уравнение на 3:
\[ x^2 - 9x + 9 = 0 \]
Шаг 2: Использование дискриминанта
Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант (\(D\)) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -9\) и \(c = 9\). Подставим значения:
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 \]
Шаг 3: Проверка дискриминанта
Поскольку \(D > 0\), у уравнения есть два различных корня. Мы можем найти корни по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1} \]
Обратите внимание, что \(\sqrt{45}\) можно упростить:
\[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \]
Таким образом, корни можно записать как:
\[ x_{1,2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2} \]
Шаг 4: Определение корней
Теперь мы выражаем два корня:
- \(x_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}\)
- \(x_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}\)
Шаг 5: Запись корней в порядке убывания
Чтобы записать корни в порядке убывания, мы должны определить, какой из них больше. Поскольку \(\sqrt{5} \approx 2.236\), мы можем приблизительно вычислить:
\[ x_1 \approx \frac{9 + 3 \cdot 2.236}{2} \approx \frac{9 + 6.708}{2} \approx \frac{15.708}{2} \approx 7.854 \] \[ x_2 \approx \frac{9 - 3 \cdot 2.236}{2} \approx \frac{9 - 6.708}{2} \approx \frac{2.292}{2} \approx 1.146 \]
Таким образом, корни уравнения в порядке убывания:
- \(x_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}\)
- \(x_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}\)
Ответ
Корни уравнения \(3x^2 - 27x + 27 = 0\) в порядке убывания:
\[ \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}, \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2} \]
