Давайте решим уравнение (3x^2 - 27x + 27 = 0) и найдем его корни в порядке убывания.
Шаг 1: Приведение уравнения к нормальному виду
Первое, что мы можем сделать, это упростить уравнение. Заметим, что все коэффициенты делятся на 3. Разделим уравнение на 3:
[
x^2 - 9x + 9 = 0
]
Шаг 2: Использование дискриминанта
Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант ((D)) для уравнения (ax^2 + bx + c = 0) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
В нашем случае (a = 1), (b = -9) и (c = 9). Подставим значения:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45
]
Шаг 3: Проверка дискриминанта
Поскольку (D > 0), у уравнения есть два различных корня. Мы можем найти корни по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}
]
Обратите внимание, что (\sqrt{45}) можно упростить:
[
\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
]
Таким образом, корни можно записать как:
[
x_{1,2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}
]
Шаг 4: Определение корней
Теперь мы выражаем два корня:
- (x_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2})
- (x_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2})
Шаг 5: Запись корней в порядке убывания
Чтобы записать корни в порядке убывания, мы должны определить, какой из них больше. Поскольку (\sqrt{5} \approx 2.236), мы можем приблизительно вычислить:
[
x_1 \approx \frac{9 + 3 \cdot 2.236}{2} \approx \frac{9 + 6.708}{2} \approx \frac{15.708}{2} \approx 7.854
]
[
x_2 \approx \frac{9 - 3 \cdot 2.236}{2} \approx \frac{9 - 6.708}{2} \approx \frac{2.292}{2} \approx 1.146
]
Таким образом, корни уравнения в порядке убывания:
- (x_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2})
- (x_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2})
Ответ
Корни уравнения (3x^2 - 27x + 27 = 0) в порядке убывания:
[
\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}, \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}
]
