Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6√3. Найдите скалярное произведение векторов AB и CA

Для того чтобы понять, как найти скалярное произведение векторов AB и CA в равностороннем треугольнике ABC с длиной стороны 6√3, начнем с нескольких основных понятий о векторах и равностороннем треугольнике.

Шаг 1: Определение векторов

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Обозначим его вершины следующим образом:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(6\sqrt{3}, 0) \) — так как одна сторона лежит на оси X.

Чтобы найти координаты точки C, воспользуемся свойством равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике угол между любыми двумя сторонами равен 60°. Таким образом, координаты точки C можно найти следующим образом:

• Длина отрезка AC также равна \( 6\sqrt{3} \).
• Точка C будет находиться на расстоянии \( 6\sqrt{3} \) от A и образует угол в 60° с отрезком AB (поэтому мы можем использовать тригонометрию для нахождения координат C).

Координаты точки C будут: \[ C\left(6\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ), 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)\right) = C\left(6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}, 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Упрощаем: \[ C\left(3\sqrt{3}, 9\right) \]

Шаг 2: Запись векторов

Теперь записываем векторы: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (6\sqrt{3}, 0) - (0, 0) = (6\sqrt{3}, 0) \] \[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (0, 0) - (3\sqrt{3}, 9) = (-3\sqrt{3}, -9) \]

Шаг 3: Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\) вычисляется по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CA} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] где \((x_1, y_1)\) — это координаты вектора \(\vec{AB}\), а \((x_2, y_2)\) — это координаты вектора \(\vec{CA}\).

Подставим значения: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CA} = (6\sqrt{3}) \cdot (-3\sqrt{3}) + (0) \cdot (-9) \]

Шаг 4: Упрощение

Закончим вычисление: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CA} = - 18 \cdot 3 = -54 \]

Итог

Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\) равно \(-54\).

Таким образом, мы получили нужный результат, и теперь можно понять свойства векторов в равностороннем треугольнике.