Для решения задачи о радиусах описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника, давайте воспользуемся известными формулами и шаг за шагом разберёмся, как найти охватывающий и вписывающий радиусы.
Шаг 1: Определение радиуса описанной окружности
Для равностороннего треугольника со стороной ( a ) радиус ( R ) описанной окружности может быть найден по формуле:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Шаг 2: Определение радиуса вписанной окружности
Радиус ( r ) вписанной окружности равностороннего треугольника можно найти через сторону ( a ) по формуле:
[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
]
Шаг 3: Связь между радиусами
Теперь, если у нас есть известный радиус описанной окружности ( R ), то мы можем выразить сторону ( a ) через него:
[
a = R \cdot \sqrt{3}
]
Шаг 4: Подстановка в формулу радиуса вписанной окружности
Теперь, подставив ( a ) в формулу для радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{R \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}
]
Ответ
Таким образом, радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности:
[
r = \frac{R}{2}
]
Если радиус описанной окружности ( R ) равен, например, 5, то радиус вписанной окружности ( r ) будет равен:
[
r = \frac{5}{2} = 2.5
]
Это завершает решение задачи! Теперь вы можете использовать этот подход для нахождения радиуса вписанной окружности, зная радиус описанной.
