В равностороннем треугольнике АВС радиус описанной окружности равен в Найдите радиус вписанной окружности.

Для решения задачи о радиусах описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника, давайте воспользуемся известными формулами и шаг за шагом разберёмся, как найти охватывающий и вписывающий радиусы.

Шаг 1: Определение радиуса описанной окружности

Для равностороннего треугольника со стороной \( a \) радиус \( R \) описанной окружности может быть найден по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Шаг 2: Определение радиуса вписанной окружности

Радиус \( r \) вписанной окружности равностороннего треугольника можно найти через сторону \( a \) по формуле:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Шаг 3: Связь между радиусами

Теперь, если у нас есть известный радиус описанной окружности \( R \), то мы можем выразить сторону \( a \) через него:

\[ a = R \cdot \sqrt{3} \]

Шаг 4: Подстановка в формулу радиуса вписанной окружности

Теперь, подставив \( a \) в формулу для радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{R \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2} \]

Ответ

Таким образом, радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности:

\[ r = \frac{R}{2} \]

Если радиус описанной окружности \( R \) равен, например, 5, то радиус вписанной окружности \( r \) будет равен:

\[ r = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Это завершает решение задачи! Теперь вы можете использовать этот подход для нахождения радиуса вписанной окружности, зная радиус описанной.