Найди первый член геометрической прогрессии, если b 4 = 448 и b 7 = 28672 .
Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, воспользуемся данными об её членах. Напомним, что в геометрической прогрессии каждый член (b_n) можно выразить через первый член (b_1) и знаменатель прогрессии (q):
\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]
В данном случае мы знаем:
- \( b_4 = 448 \)
- \( b_7 = 28672 \)
Подставим эти значения в формулы:
Для \( b_4 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{3} = 448 \] (так как 4 - это n и n-1 = 3)
Для \( b_7 \): \[ b_7 = b_1 \cdot q^{6} = 28672 \] (так как 7 - это n и n-1 = 6)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( b_1 \cdot q^{3} = 448 \)
- \( b_1 \cdot q^{6} = 28672 \)
Чтобы избавиться от \( b_1 \), разделим второе уравнение на первое:
\[ \frac{b_1 \cdot q^{6}}{b_1 \cdot q^{3}} = \frac{28672}{448} \]
Сократим \( b_1 \) и упростим:
\[ q^{3} = \frac{28672}{448} \]
Теперь посчитаем правую часть:
\[ \frac{28672}{448} = 64 \]
Таким образом, у нас получается:
\[ q^{3} = 64 \]
Теперь найдём \( q \). Извлечём кубический корень:
\[ q = 64^{1/3} = 4 \]
Теперь, зная \( q \), можем подставить его обратно в первое уравнение, чтобы найти \( b_1 \):
\[ b_1 \cdot q^{3} = 448 \] \[ b_1 \cdot 4^{3} = 448 \] \[ b_1 \cdot 64 = 448 \]
Теперь решим для \( b_1 \):
\[ b_1 = \frac{448}{64} = 7 \]
Итак, первый член геометрической прогрессии:
\[ b_1 = 7 \]
Ответ: Первый член геометрической прогрессии \( b_1 = 7 \).
