Давайте решим задачу по нахождению первого члена и суммы первых 12 членов арифметической прогрессии (АП).
В АП есть два важных параметра:
- Первый член (обозначим его ( a_1 ))
- Разность прогрессии (обозначим её ( d ))
Дано:
- ( a_3 = -18 )
- ( a_7 = 6 )
Формула для ( n )-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:
[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ]
Шаг 1: Используем известные значения.
Сначала подставим известные значения в формулу:
Для ( a_3 ):
[
a_3 = a_1 + 2d = -18 \quad \text{(1)}
]
Для ( a_7 ):
[
a_7 = a_1 + 6d = 6 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
Шаг 2: Решим систему уравнений.
Из уравнения (1):
[
a_1 + 2d = -18 \implies a_1 = -18 - 2d \quad \text{(3)}
]
Подставим (3) в (2):
[
(-18 - 2d) + 6d = 6
]
Упростим:
[
-18 + 4d = 6
]
Добавим 18 ко всем членам:
[
4d = 24
]
И тогда:
[
d = 6
]
Шаг 3: Найдем ( a_1 ).
Теперь подставим найденное значение ( d = 6 ) в уравнение (3):
[
a_1 = -18 - 2 \cdot 6 = -18 - 12 = -30
]
Так что:
- Первый член ( a_1 = -30 )
- Разность ( d = 6 )
Шаг 4: Найдем сумму первых 12 членов.
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)
]
Для ( n = 12 ):
[
S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (2a_1 + (12 - 1) \cdot d)
]
Подставим значения:
[
S_{12} = 6 \cdot (2 \cdot (-30) + 11 \cdot 6)
]
Теперь вычислим:
[
S_{12} = 6 \cdot (-60 + 66) = 6 \cdot 6 = 36
]
Итог:
- Первый член ( a_1 = -30 )
- Сумма первых 12 членов ( S_{12} = 36 )
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другой задачей, обращайтесь!
