2. Найти первый член и сумму 12 первых членов арифметической прогрессии (аn), если а3 = –18 и а7 = 6.

Давайте решим задачу по нахождению первого члена и суммы первых 12 членов арифметической прогрессии (АП).

В АП есть два важных параметра:

• Первый член (обозначим его \( a_1 \))
• Разность прогрессии (обозначим её \( d \))

Дано:

• \( a_3 = -18 \)
• \( a_7 = 6 \)

Формула для \( n \)-ого члена арифметической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Шаг 1: Используем известные значения.

Сначала подставим известные значения в формулу:

1. Для \( a_3 \): \[ a_3 = a_1 + 2d = -18 \quad \text{(1)} \]

2. Для \( a_7 \): \[ a_7 = a_1 + 6d = 6 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).

Шаг 2: Решим систему уравнений.

Из уравнения (1): \[ a_1 + 2d = -18 \implies a_1 = -18 - 2d \quad \text{(3)} \]

Подставим (3) в (2): \[ (-18 - 2d) + 6d = 6 \] Упростим: \[ -18 + 4d = 6 \] Добавим 18 ко всем членам: \[ 4d = 24 \] И тогда: \[ d = 6 \]

Шаг 3: Найдем \( a_1 \).

Теперь подставим найденное значение \( d = 6 \) в уравнение (3): \[ a_1 = -18 - 2 \cdot 6 = -18 - 12 = -30 \]

Так что:

• Первый член \( a_1 = -30 \)
• Разность \( d = 6 \)

Шаг 4: Найдем сумму первых 12 членов.

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d) \]

Для \( n = 12 \): \[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (2a_1 + (12 - 1) \cdot d) \] Подставим значения: \[ S_{12} = 6 \cdot (2 \cdot (-30) + 11 \cdot 6) \] Теперь вычислим: \[ S_{12} = 6 \cdot (-60 + 66) = 6 \cdot 6 = 36 \]

Итог:

• Первый член \( a_1 = -30 \)
• Сумма первых 12 членов \( S_{12} = 36 \)

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другой задачей, обращайтесь!