Давайте решим задачу о бросании симметричной монеты восемь раз и найдем математическое ожидание случайной величины ( S ), которая равна числу выпавших орлов.
Шаг 1: Определим случайную величину
Случайная величина ( S ) — это количество выпавших орлов при восьми бросках симметричной монеты. Мы знаем, что в одном броске монеты вероятность выпадения орла (обозначим её как ( p )) равна:
[
p = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Применим закон распределения
Мы можем модельировать количество выпавших орлов как биномиальное распределение, поскольку мы имеем фиксированное количество испытаний (бросков), два возможных исхода (орел или решка) и вероятность успеха (выпадения орла) одинаковая для каждого броска.
Биномиальное распределение ( S ) для ( n ) испытаний (в нашем случае ( n = 8 )) с вероятностью успеха ( p = \frac{1}{2} ) описывается формулой:
[
S \sim Binomial(n, p)
]
где ( n = 8 ) и ( p = \frac{1}{2} ).
Шаг 3: Найдем математическое ожидание
Математическое ожидание биномиального распределения рассчитывается по формуле:
[
E(S) = n \cdot p
]
Шаг 4: Подставим значения
Теперь подставим наши значения в формулу:
[
E(S) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, математическое ожидание (среднее число выпавших орлов при восьми бросках симметричной монеты) равно:
[
\boxed{4}
]
Заключение
В данной задаче мы определили случайную величину, использовали понятие биномиального распределения, и нашли математическое ожидание. Это значит, что в среднем при восьми бросках симметричной монеты мы можем ожидать увидеть 4 орла.
