358. Симметричную монету бросают восемь раз. Найдите математическое ожидание случайной величины S = {число выпавших орлов)

Давайте решим задачу о бросании симметричной монеты восемь раз и найдем математическое ожидание случайной величины \( S \), которая равна числу выпавших орлов.

Шаг 1: Определим случайную величину

Случайная величина \( S \) — это количество выпавших орлов при восьми бросках симметричной монеты. Мы знаем, что в одном броске монеты вероятность выпадения орла (обозначим её как \( p \)) равна:

\[ p = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Применим закон распределения

Мы можем модельировать количество выпавших орлов как биномиальное распределение, поскольку мы имеем фиксированное количество испытаний (бросков), два возможных исхода (орел или решка) и вероятность успеха (выпадения орла) одинаковая для каждого броска.

Биномиальное распределение \( S \) для \( n \) испытаний (в нашем случае \( n = 8 \)) с вероятностью успеха \( p = \frac{1}{2} \) описывается формулой:

\[ S \sim Binomial(n, p) \]

где \( n = 8 \) и \( p = \frac{1}{2} \).

Шаг 3: Найдем математическое ожидание

Математическое ожидание биномиального распределения рассчитывается по формуле:

\[ E(S) = n \cdot p \]

Шаг 4: Подставим значения

Теперь подставим наши значения в формулу:

\[ E(S) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \]

Шаг 5: Ответ

Таким образом, математическое ожидание (среднее число выпавших орлов при восьми бросках симметричной монеты) равно:

\[ \boxed{4} \]

Заключение

В данной задаче мы определили случайную величину, использовали понятие биномиального распределения, и нашли математическое ожидание. Это значит, что в среднем при восьми бросках симметричной монеты мы можем ожидать увидеть 4 орла.