Давайте разберем данную задачу шаг за шагом. Мы имеем дело с квадратичной функцией, которая описывает поступления в бюджет от ставки налога. Данные о поступлениях представлены в виде:
- Налоговая ставка 10% → 1,3 млрд фантиков
- Налоговая ставка 33% → 1,3 млрд фантиков
- Налоговая ставка 27% → 1,6 млрд фантиков
Для решения задачи мы можем обозначить переменные:
- ( x ) — налоговая ставка (в процентах)
- ( P(x) ) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков)
Нам нужно найти максимальное значение функции ( P(x) ), которая имеет вид:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
Поскольку у нас нет значения ( a ), ( b ) и ( c ), мы можем воспользоваться данными, чтобы составить систему уравнений.
1. Составление системы уравнений
У нас есть три точки: ( (10, 1.3) ), ( (27, 1.6) ) и ( (33, 1.3) ). Подставим их в уравнение:
При ( x = 10 ):
[
P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3
]
[
100a + 10b + c = 1.3
]
При ( x = 27 ):
[
P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6
]
[
729a + 27b + c = 1.6
]
При ( x = 33 ):
[
P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3
]
[
1089a + 33b + c = 1.3
]
Теперь у нас есть система трех линейных уравнений:
[
\begin{align*}
100a + 10b + c & = 1.3 \quad \text{(1)}\
729a + 27b + c & = 1.6 \quad \text{(2)}\
1089a + 33b + c & = 1.3 \quad \text{(3)}
\end{align*}
]
2. Решение системы уравнений
Мы можем вычесть уравнения таким образом, чтобы избавиться от ( c ):
Вычтем (1) из (2):
[
(729 - 100)a + (27 - 10)b = 1.6 - 1.3
]
[
629a + 17b = 0.3 \quad \text{(4)}
]
Вычтем (1) из (3):
[
(1089 - 100)a + (33 - 10)b = 1.3 - 1.3
]
[
989a + 23b = 0 \quad \text{(5)}
]
Теперь у нас есть две линейные зависимости (4) и (5):
- ( 629a + 17b = 0.3 ) (из уравнения (4))
- ( 989a + 23b = 0 ) (из уравнения (5))
Теперь мы можем выразить ( b ) через ( a ) из уравнения (5):
[
b = -\frac{989}{23} a
]
Теперь подставим в (4):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3
]
[
629a - \frac{16813}{23}a = 0.3
]
Чтобы избавиться от дробей, умножим уравнение на 23:
[
14467a - 16813a = 6.9
]
[
-2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} = -0.00294
]
Теперь подставим ( a ) обратно в уравнение (5) для нахождения ( b ):
[
989(-0.00294) + 23b = 0
]
[
23b = 2.9 \quad \implies b \approx 0.126
]
3. Нахождение параметра ( c )
Теперь подставим значения ( a ) и ( b ) в любое из первых уравнений для нахождения ( c ):
[
100(-0.00294) + 10(0.126) + c = 1.3
]
[
-0.294 + 1.26 + c = 1.3
]
[
c = 1.3 + 0.294 - 1.26 = 0.334
]
Теперь у нас есть полное уравнение:
[
P(x) = -0.00294x^2 + 0.126x + 0.334
]
4. Нахождение максимума
Чтобы найти максимальную ставку налога, нам нужно найти вершину параболы, заданной квадратичной функцией, которая имеет вид:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.126}{2 \cdot -0.00294}
]
[
x_{max} \approx \frac{0.126}{0.00588} \approx 21.4%
]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 21.4%.
