Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберем данную задачу шаг за шагом. Мы имеем дело с квадратичной функцией, которая описывает поступления в бюджет от ставки налога. Данные о поступлениях представлены в виде:
- Налоговая ставка 10% → 1,3 млрд фантиков
- Налоговая ставка 33% → 1,3 млрд фантиков
- Налоговая ставка 27% → 1,6 млрд фантиков
Для решения задачи мы можем обозначить переменные:
- \( x \) — налоговая ставка (в процентах)
- \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков)
Нам нужно найти максимальное значение функции \( P(x) \), которая имеет вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
Поскольку у нас нет значения \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем воспользоваться данными, чтобы составить систему уравнений.
1. Составление системы уравнений
У нас есть три точки: \( (10, 1.3) \), \( (27, 1.6) \) и \( (33, 1.3) \). Подставим их в уравнение:
При \( x = 10 \): \[ P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \] \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
При \( x = 27 \): \[ P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \] \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
При \( x = 33 \): \[ P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \] \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Теперь у нас есть система трех линейных уравнений:
\[ \begin{align*} 100a + 10b + c & = 1.3 \quad \text{(1)}\\ 729a + 27b + c & = 1.6 \quad \text{(2)}\\ 1089a + 33b + c & = 1.3 \quad \text{(3)} \end{align*} \]
2. Решение системы уравнений
Мы можем вычесть уравнения таким образом, чтобы избавиться от \( c \):
Вычтем (1) из (2): \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(4)} \]
Вычтем (1) из (3): \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть две линейные зависимости (4) и (5):
- \( 629a + 17b = 0.3 \) (из уравнения (4))
- \( 989a + 23b = 0 \) (из уравнения (5))
Теперь мы можем выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (5): \[ b = -\frac{989}{23} a \]
Теперь подставим в (4):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Чтобы избавиться от дробей, умножим уравнение на 23: \[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} = -0.00294 \]
Теперь подставим \( a \) обратно в уравнение (5) для нахождения \( b \): \[ 989(-0.00294) + 23b = 0 \] \[ 23b = 2.9 \quad \implies b \approx 0.126 \]
3. Нахождение параметра \( c \)
Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) в любое из первых уравнений для нахождения \( c \): \[ 100(-0.00294) + 10(0.126) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.26 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 + 0.294 - 1.26 = 0.334 \]
Теперь у нас есть полное уравнение:
\[ P(x) = -0.00294x^2 + 0.126x + 0.334 \]
4. Нахождение максимума
Чтобы найти максимальную ставку налога, нам нужно найти вершину параболы, заданной квадратичной функцией, которая имеет вид:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.126}{2 \cdot -0.00294} \] \[ x_{max} \approx \frac{0.126}{0.00588} \approx 21.4\% \]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 21.4%.
