Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см а косинус одного из острых углов равен 8/17. Найдите катеты треугольника

Для решения задачи используем основные свойства прямоугольного треугольника и тригонометрии. Дадим подробное решение с шагами.

Шаг 1: Обозначение сторон

Обозначим гипотенузу \( c = 10 \) см, один из катетов как \( a \) и другой как \( b \).

Шаг 2: Применение косинуса

Мы знаем, что косинус угла \( \alpha \) (один из острых углов) определяется по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{a}{c} \]

Дано, что \( \cos \alpha = \frac{8}{17} \). Подставим значение гипотенузы:

\[ \frac{8}{17} = \frac{a}{10} \]

Шаг 3: Найти катет \( a \)

Решим это уравнение для \( a \):

\[ a = 10 \cdot \frac{8}{17} = \frac{80}{17} \approx 4.71 \, \text{см} \]

Шаг 4: Найти другой катет \( b \)

Для нахождения второго катета \( b \) используем теорему Пифагора, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 10^2 = \left(\frac{80}{17}\right)^2 + b^2 \] \[ 100 = \frac{6400}{289} + b^2 \]

Шаг 5: Привести уравнение к простому виду

Переведем 100 в дробь с тем же знаменателем:

\[ 100 = \frac{100 \cdot 289}{289} = \frac{28900}{289} \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{28900}{289} = \frac{6400}{289} + b^2 \]

Тем самым, получаем:

\[ b^2 = \frac{28900}{289} - \frac{6400}{289} = \frac{28900 - 6400}{289} = \frac{22400}{289} \]

Шаг 6: Найти \( b \)

Теперь найдем \( b \):

\[ b = \sqrt{\frac{22400}{289}} = \frac{\sqrt{22400}}{17} \]

Шаг 7: Упростим \( \sqrt{22400} \)

Сначала найдем корень:

\[ 22400 = 224 \times 100 = 224 \cdot 10^2 \]

\[ \sqrt{22400} = \sqrt{224} \cdot 10 \]

Теперь у нас:

\[ b = \frac{10 \sqrt{224}}{17} \]

Шаг 8: Упростить \( \sqrt{224} \)

Разложим \( 224 \):

\[ 224 = 16 \cdot 14 = 4^2 \cdot 14 \]

Таким образом:

\[ \sqrt{224} = 4 \sqrt{14} \]

Подставим это обратно в выражение для \( b \):

\[ b = \frac{10 \cdot 4 \sqrt{14}}{17} = \frac{40 \sqrt{14}}{17} \]

Ответ

Теперь у нас есть оба катета:

• Первый катет \( a \approx 4.71 \, \text{см} \)
• Второй катет \( b \approx \frac{40 \sqrt{14}}{17} \approx 10.21 \, \text{см} \)

Таким образом, мы нашли оба катета прямоугольного треугольника.