Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см а косинус одного из острых углов равен 8/17. Найдите катеты треугольника

Для решения задачи используем основные свойства прямоугольного треугольника и тригонометрии. Дадим подробное решение с шагами. ### Шаг 1: Обозначение сторон Обозначим гипотенузу \( c = 10 \) см, один из катетов как \( a \) и другой как \( b \). ### Шаг 2: Применение косинуса Мы знаем, что косинус угла \( \alpha \) (один из острых углов) определяется по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{a}{c} \] Дано, что \( \cos \alpha = \frac{8}{17} \). Подставим значение гипотенузы: \[ \frac{8}{17} = \frac{a}{10} \] ### Шаг 3: Найти катет \( a \) Решим это уравнение для \( a \): \[ a = 10 \cdot \frac{8}{17} = \frac{80}{17} \approx 4.71 \, \text{см} \] ### Шаг 4: Найти другой катет \( b \) Для нахождения второго катета \( b \) используем теорему Пифагора, которая гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = \left(\frac{80}{17}\right)^2 + b^2 \] \[ 100 = \frac{6400}{289} + b^2 \] ### Шаг 5: Привести уравнение к простому виду Переведем 100 в дробь с тем же знаменателем: \[ 100 = \frac{100 \cdot 289}{289} = \frac{28900}{289} \] Теперь подставим это в уравнение: \[ \frac{28900}{289} = \frac{6400}{289} + b^2 \] Тем самым, получаем: \[ b^2 = \frac{28900}{289} - \frac{6400}{289} = \frac{28900 - 6400}{289} = \frac{22400}{289} \] ### Шаг 6: Найти \( b \) Теперь найдем \( b \): \[ b = \sqrt{\frac{22400}{289}} = \frac{\sqrt{22400}}{17} \] ### Шаг 7: Упростим \( \sqrt{22400} \) Сначала найдем корень: \[ 22400 = 224 \times 100 = 224 \cdot 10^2 \] \[ \sqrt{22400} = \sqrt{224} \cdot 10 \] Теперь у нас: \[ b = \frac{10 \sqrt{224}}{17} \] ### Шаг 8: Упростить \( \sqrt{224} \) Разложим \( 224 \): \[ 224 = 16 \cdot 14 = 4^2 \cdot 14 \] Таким образом: \[ \sqrt{224} = 4 \sqrt{14} \] Подставим это обратно в выражение для \( b \): \[ b = \frac{10 \cdot 4 \sqrt{14}}{17} = \frac{40 \sqrt{14}}{17} \] ### Ответ Теперь у нас есть оба катета: - Первый катет \( a \approx 4.71 \, \text{см} \) - Второй катет \( b \approx \frac{40 \sqrt{14}}{17} \approx 10.21 \, \text{см} \) Таким образом, мы нашли оба катета прямоугольного треугольника.