На рисунке изображён прямоугольник  A B C D ABCD. Точки  K K,  L L,  M M,  N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику  L M N LMN.

Для решения задачи сначала проанализируем описание фигуры и задания. 1. **Определение фигур:** У нас есть прямоугольник \(ABCD\), и точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) являются серединами его сторон: - \(K\) — середина стороны \(AB\) - \(L\) — середина стороны \(BC\) - \(M\) — середина стороны \(CD\) - \(N\) — середина стороны \(DA\) Таким образом, треугольник \(LMN\) формируется из этих точек. 2. **Параметры прямоугольника:** - Пусть длина \(AB = a\) (ширина), а длина \(AD = b\) (высота). - Площадь прямоугольника \(ABCD\) можно выразить как: \[ S_{\text{прямоугольник}} = a \cdot b \] 3. **Координаты точек:** - Прямоугольник можно разместить в координатной системе таким образом: - \(A(0, 0)\) - \(B(a, 0)\) - \(C(a, b)\) - \(D(0, b)\) Отсюда координаты середины сторон: - Точка \(K = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\) - Точка \(L = \left(a, \frac{b}{2}\right)\) - Точка \(M = \left(\frac{a}{2}, b\right)\) - Точка \(N = \left(0, \frac{b}{2}\right)\) 4. **Площадь треугольника \(LMN\):** Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Где: - \((x_1, y_1) = (a, \frac{b}{2})\) (точка \(L\)) - \((x_2, y_2) = (0, \frac{b}{2})\) (точка \(N\)) - \((x_3, y_3) = (\frac{a}{2}, b)\) (точка \(M\)) Подставим значения: \[ S_{\text{LMN}} = \frac{1}{2} \left| a\left(\frac{b}{2} - b\right) + 0\left(b - \frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) \right| \] Упростим: \[ S_{\text{LMN}} = \frac{1}{2} \left| a\left(-\frac{b}{2}\right) \right| = \frac{1}{2} \times \frac{ab}{2} = \frac{ab}{4} \] 5. **Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику \(LMN\):** Вероятность определяется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{\text{треугольник}}}{S_{\text{прямоугольник}}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \] **Ответ:** Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \(LMN\), равна \(\frac{1}{4}\).