На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Для решения задачи сначала проанализируем описание фигуры и задания.

1. Определение фигур: У нас есть прямоугольник \(ABCD\), и точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) являются серединами его сторон:
   • \(K\) — середина стороны \(AB\)
   • \(L\) — середина стороны \(BC\)
   • \(M\) — середина стороны \(CD\)
   • \(N\) — середина стороны \(DA\)

Таким образом, треугольник \(LMN\) формируется из этих точек.

2. Параметры прямоугольника:

   • Пусть длина \(AB = a\) (ширина), а длина \(AD = b\) (высота).
   • Площадь прямоугольника \(ABCD\) можно выразить как: \[ S_{\text{прямоугольник}} = a \cdot b \]

3. Координаты точек:

   • Прямоугольник можно разместить в координатной системе таким образом:
     • \(A(0, 0)\)
     • \(B(a, 0)\)
     • \(C(a, b)\)
     • \(D(0, b)\)

   Отсюда координаты середины сторон:

   • Точка \(K = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
   • Точка \(L = \left(a, \frac{b}{2}\right)\)
   • Точка \(M = \left(\frac{a}{2}, b\right)\)
   • Точка \(N = \left(0, \frac{b}{2}\right)\)

4. Площадь треугольника \(LMN\): Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Где:

   • \((x_1, y_1) = (a, \frac{b}{2})\) (точка \(L\))
   • \((x_2, y_2) = (0, \frac{b}{2})\) (точка \(N\))
   • \((x_3, y_3) = (\frac{a}{2}, b)\) (точка \(M\))

   Подставим значения: \[ S_{\text{LMN}} = \frac{1}{2} \left| a\left(\frac{b}{2} - b\right) + 0\left(b - \frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) \right| \] Упростим: \[ S_{\text{LMN}} = \frac{1}{2} \left| a\left(-\frac{b}{2}\right) \right| = \frac{1}{2} \times \frac{ab}{2} = \frac{ab}{4} \]

5. Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику \(LMN\): Вероятность определяется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{\text{треугольник}}}{S_{\text{прямоугольник}}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \(LMN\), равна \(\frac{1}{4}\).