На рисунке изображён прямоугольник
A
B
C
D
ABCD. Точки
K,
L,
M,
N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику
L
M
N
LMN.
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, давайте следовать пошагово.
1. **Определим фигуры:**
- Прямоугольник ABCD имеет вершины A, B, C и D. Стороны AB и CD — это более длинные стороны, а стороны AD и BC — более короткие.
- Точки K, L, M, N — это середины сторон, то есть:
- K — середина AD
- L — середина AB
- M — середина BC
- N — середина CD
Таким образом, три точки, L, M и N, образуют треугольник LMN.
2. **Площадь треугольника LMN:**
- Стороны треугольника LMN расположены следующим образом:
- LM — соединяет середины AB и BC.
- LN — соединяет середины AB и CD.
- MN — соединяет середины BC и CD.
- Если длина стороны AB (более длинной) равна \(2a\), а длина стороны AD (более короткой) равна \(2b\), тогда координаты точек могут быть следующими (предположим, что A находится в начале координат):
- A(0, 0)
- B(2a, 0)
- C(2a, 2b)
- D(0, 2b)
- K(0, b), L(a, 0), M(2a, b), N(a, 2b)
3. **Зададим координаты и найдем площадь:**
- Теперь найдем площадь треугольника LMN:
- Координаты:
- L(a, 0)
- M(2a, b)
- N(a, 2b)
Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
где \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) — координаты вершин треугольника.
Подставляя координаты:
\[
S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a( b - 2b) + 2a(2b - 0) + a(0 - b) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| a(-b) + 4ab - ab \right| = \frac{1}{2} \left| 2ab \right| = ab
\]
4. **Площадь прямоугольника ABCD:**
- Площадь прямоугольника ABCD:
\[
S_{ABCD} = 2a \cdot 2b = 4ab
\]
5. **Вероятность:**
- Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, вычисляется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника:
\[
P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab}{4ab} = \frac{1}{4}
\]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, составляет **\(\frac{1}{4}\)**.
