На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K , L , M , N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, давайте следовать пошагово.

1. Определим фигуры:

   • Прямоугольник ABCD имеет вершины A, B, C и D. Стороны AB и CD — это более длинные стороны, а стороны AD и BC — более короткие.
   • Точки K, L, M, N — это середины сторон, то есть:
     • K — середина AD
     • L — середина AB
     • M — середина BC
     • N — середина CD

   Таким образом, три точки, L, M и N, образуют треугольник LMN.

2. Площадь треугольника LMN:

   • Стороны треугольника LMN расположены следующим образом:
     • LM — соединяет середины AB и BC.
     • LN — соединяет середины AB и CD.
     • MN — соединяет середины BC и CD.
   • Если длина стороны AB (более длинной) равна \(2a\), а длина стороны AD (более короткой) равна \(2b\), тогда координаты точек могут быть следующими (предположим, что A находится в начале координат):
     • A(0, 0)
     • B(2a, 0)
     • C(2a, 2b)
     • D(0, 2b)
     • K(0, b), L(a, 0), M(2a, b), N(a, 2b)

3. Зададим координаты и найдем площадь:

   • Теперь найдем площадь треугольника LMN:
   • Координаты:
     • L(a, 0)
     • M(2a, b)
     • N(a, 2b)

   Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] где \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) — координаты вершин треугольника.

   Подставляя координаты: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a( b - 2b) + 2a(2b - 0) + a(0 - b) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| a(-b) + 4ab - ab \right| = \frac{1}{2} \left| 2ab \right| = ab \]

4. Площадь прямоугольника ABCD:

   • Площадь прямоугольника ABCD: \[ S_{ABCD} = 2a \cdot 2b = 4ab \]

5. Вероятность:

   • Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, вычисляется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab}{4ab} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, составляет \(\frac{1}{4}\).