В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…
В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≤ x y≤x и y ≥ 1 y≥1.
Чтобы решить задачу, начнем с определения области прямоугольника и области, ограниченной неравенствами.
- Определим координаты вершин прямоугольника и его размеры.
Вершины прямоугольника:
- A(-4, -4)
- B(-4, 6)
- C(8, 6)
- D(8, -4)
Теперь найдем длину и ширину прямоугольника:
- Длина (по оси y): from -4 to 6, что равно 6 - (-4) = 10.
- Ширина (по оси x): from -4 to 8, что равно 8 - (-4) = 12.
Площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольник}} = длина \times ширина = 10 \times 12 = 120 \]
- Определим область, ограниченную неравенствами \(y \leq x\) и \(y \geq 1\).
- Уравнение \(y = x\) — это прямая, которая проходит через начало координат и имеет угол наклона 45°.
- Уравнение \(y = 1\) — это горизонтальная прямая, которая пересекает ось y в точке (0, 1).
Теперь найдем точки пересечения этих линий с границами прямоугольника:
- Для прямой \(y = 1\):
- Чтобы найти точку пересечения с прямой \(y = x\): \(1 = x \Rightarrow x = 1\). Точка пересечения: (1, 1).
- Для получения других точек пересечения, подставим y = 6 (верхняя граница прямоугольника):
- \(6 = x \Rightarrow x = 6.\) Точка: (6, 6).
Теперь определим точки пересечения с вертикальными границами \(x = -4\) и \(x = 8\):
- Для \(x = -4\): \(y = -4\) (но это ниже уровня y=1, так что не подходит).
- Для \(x = 8\): \(y = 8\) (но это выше уровня y=1, так что не подходит).
Теперь нам нужно определить фигуру, образованную неравенствами и ограниченную границами прямоугольника. Проверим область ниже прямой \(y = x\) и выше линии \(y = 1\):
- Область будет находиться между точками (1, 1) и (6, 6) и ограничена верхней границей прямоугольника (высота 6).
- Площадь области, заключенной между прямыми.
Образованная область является треугольником с вершинами (1, 1), (6, 6), и (6, 1).
- Площадь этого треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{\text{треугольник}} = 0.5 \times основание \times высота \] где основание = 5 (разница по x между 1 и 6), высота = 5 (разница по y между 1 и 6): \[ S_{\text{треугольник}} = 0.5 \times 5 \times 5 = 12.5. \]
- Вероятность того, что случайная точка \(X(x, y)\) находится в области.
Теперь мы можем найти вероятность: \[ P = \frac{S_{\text{треугольник}}}{S_{\text{прямоугольник}}} = \frac{12.5}{120} = \frac{1}{9.6} \approx 0.1042. \]
Таким образом, вероятность того, что координаты случайной точки \(X(x, y)\) принадлежат области, заданной неравенствами \(y \leq x\) и \(y \geq 1\), составляет примерно \(0.1042\) или \(10.42\%\).
