В прямоугольнике с вершинами  A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4),  B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6),  C ( 8 ; 6 ) C(8;6),  D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку  X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами  y ≤ x y≤x и  y ≥ 1 y≥1.

Чтобы решить задачу, начнем с определения области прямоугольника и области, ограниченной неравенствами. 1. **Определим координаты вершин прямоугольника и его размеры**. Вершины прямоугольника: - A(-4, -4) - B(-4, 6) - C(8, 6) - D(8, -4) Теперь найдем длину и ширину прямоугольника: - Длина (по оси y): from -4 to 6, что равно 6 - (-4) = 10. - Ширина (по оси x): from -4 to 8, что равно 8 - (-4) = 12. Площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольник}} = длина \times ширина = 10 \times 12 = 120 \] 2. **Определим область, ограниченную неравенствами \(y \leq x\) и \(y \geq 1\)**. - Уравнение \(y = x\) — это прямая, которая проходит через начало координат и имеет угол наклона 45°. - Уравнение \(y = 1\) — это горизонтальная прямая, которая пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь найдем точки пересечения этих линий с границами прямоугольника: - Для прямой \(y = 1\): - Чтобы найти точку пересечения с прямой \(y = x\): \(1 = x \Rightarrow x = 1\). Точка пересечения: (1, 1). - Для получения других точек пересечения, подставим y = 6 (верхняя граница прямоугольника): - \(6 = x \Rightarrow x = 6.\) Точка: (6, 6). Теперь определим точки пересечения с вертикальными границами \(x = -4\) и \(x = 8\): - Для \(x = -4\): \(y = -4\) (но это ниже уровня y=1, так что не подходит). - Для \(x = 8\): \(y = 8\) (но это выше уровня y=1, так что не подходит). Теперь нам нужно определить фигуру, образованную неравенствами и ограниченную границами прямоугольника. Проверим область ниже прямой \(y = x\) и выше линии \(y = 1\): - Область будет находиться между точками (1, 1) и (6, 6) и ограничена верхней границей прямоугольника (высота 6). 3. **Площадь области, заключенной между прямыми**. Образованная область является треугольником с вершинами (1, 1), (6, 6), и (6, 1). - Площадь этого треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{\text{треугольник}} = 0.5 \times основание \times высота \] где основание = 5 (разница по x между 1 и 6), высота = 5 (разница по y между 1 и 6): \[ S_{\text{треугольник}} = 0.5 \times 5 \times 5 = 12.5. \] 4. **Вероятность того, что случайная точка \(X(x, y)\) находится в области**. Теперь мы можем найти вероятность: \[ P = \frac{S_{\text{треугольник}}}{S_{\text{прямоугольник}}} = \frac{12.5}{120} = \frac{1}{9.6} \approx 0.1042. \] Таким образом, вероятность того, что координаты случайной точки \(X(x, y)\) принадлежат области, заданной неравенствами \(y \leq x\) и \(y \geq 1\), составляет примерно \(0.1042\) или \(10.42\%\).