Для решения данной задачи представим условия и начнем по порядку.
Обозначим:
- первоначальную стоимость беспроводных наушников как ( x ) рублей.
- тогда стоимость проводных наушников будет ( x - 900 ) рублей, так как они стоят на 900 рублей дешевле.
Далее, по условиям задачи, мы знаем, что:
- Проводные наушники снизились в цене на 900 рублей.
- Процент снижения цены для проводных наушников больше, чем для беспроводных наушников на 5%.
Обозначим процент снижения цены беспроводных наушников как ( p ). Тогда можно обозначить процент снижения цены проводных наушников как ( p + 5 ).
Теперь запишем формулы для процентов снижения цен:
- Для беспроводных наушников:
[
\frac{900}{x} \cdot 100 = p
]
- Для проводных наушников:
[
\frac{900}{x - 900} \cdot 100 = p + 5
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( p = \frac{900 \cdot 100}{x} )
- ( p + 5 = \frac{900 \cdot 100}{x - 900} )
Подставим первое уравнение во второе:
[
\frac{900 \cdot 100}{x} + 5 = \frac{900 \cdot 100}{x - 900}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( x(x - 900) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
90000(x - 900) + 5x(x - 900) = 90000x
]
Раскроем скобки:
[
90000x - 81000000 + 5x^2 - 4500x = 90000x
]
Сократим ( 90000x ) с обеих сторон:
[
5x^2 - 4500x - 81000000 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все его коэффициенты на 5:
[
x^2 - 900x - 16200000 = 0
]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-900)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16200000)
]
[
D = 810000 + 64800000 = 65610000
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{900 \pm \sqrt{65610000}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{65610000} ):
[
\sqrt{65610000} = 810
]
Теперь подставим значение в формулу решения:
[
x = \frac{900 \pm 810}{2}
]
Таким образом, у нас два возможных значения для ( x ):
- ( x = \frac{1710}{2} = 855 )
- ( x = \frac{90}{2} = 45 )
Сравним оба варианта с условиями задачи. Первоначальная стоимость беспроводных наушников не может быть меньшей 900 рублей (так как проводные не могут стоить меньше нуля), поэтому:
[
x = 855 \text{ рублей}
]
Таким образом, первоначальная стоимость беспроводных наушников составляет 855 рублей.
