x²=√x
Чтобы решить уравнение \( x^2 = \sqrt{x} \), начнём с того, что перепишем его в более удобной форме. Мы можем сделать это, возведя обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Важно помнить, что при этом необходимо учитывать, что обе стороны должны быть неотрицательными.
Шаг 1: Уборка квадратного корня
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \]
Теперь у нас получится:
\[ x^4 = x \]
Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду
Переносим все термины в одну сторону:
\[ x^4 - x = 0 \]
Шаг 3: Факторизация
Теперь мы можем вынести общий множитель \( x \):
\[ x(x^3 - 1) = 0 \]
Шаг 4: Нахождение корней
Теперь у нас два множителя:
- \( x = 0 \)
- \( x^3 - 1 = 0 \)
Для второго множителя решим уравнение \( x^3 - 1 = 0 \):
\[ x^3 = 1 \]
Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон:
\[ x = 1 \]
Шаг 5: Проверка корней
Теперь необходимо проверить, что оба найденных корня \( x = 0 \) и \( x = 1 \) действительно удовлетворяют исходному уравнению \( x^2 = \sqrt{x} \).
Для \( x = 0 \): \[ 0^2 = \sqrt{0} \Rightarrow 0 = 0 \quad \text{(верно)} \]
Для \( x = 1 \): \[ 1^2 = \sqrt{1} \Rightarrow 1 = 1 \quad \text{(верно)} \]
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
Корни уравнения \( x^2 = \sqrt{x} \):
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \]
