X²=√x

Чтобы решить уравнение \( x^2 = \sqrt{x} \), начнём с того, что перепишем его в более удобной форме. Мы можем сделать это, возведя обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Важно помнить, что при этом необходимо учитывать, что обе стороны должны быть неотрицательными. ### Шаг 1: Уборка квадратного корня Возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \] Теперь у нас получится: \[ x^4 = x \] ### Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду Переносим все термины в одну сторону: \[ x^4 - x = 0 \] ### Шаг 3: Факторизация Теперь мы можем вынести общий множитель \( x \): \[ x(x^3 - 1) = 0 \] ### Шаг 4: Нахождение корней Теперь у нас два множителя: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^3 - 1 = 0 \) Для второго множителя решим уравнение \( x^3 - 1 = 0 \): \[ x^3 = 1 \] Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон: \[ x = 1 \] ### Шаг 5: Проверка корней Теперь необходимо проверить, что оба найденных корня \( x = 0 \) и \( x = 1 \) действительно удовлетворяют исходному уравнению \( x^2 = \sqrt{x} \). - Для \( x = 0 \): \[ 0^2 = \sqrt{0} \Rightarrow 0 = 0 \quad \text{(верно)} \] - Для \( x = 1 \): \[ 1^2 = \sqrt{1} \Rightarrow 1 = 1 \quad \text{(верно)} \] Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. ### Ответ Корни уравнения \( x^2 = \sqrt{x} \): \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \]