Чтобы решить задачу, давайте поэтапно рассмотрим, какими способами дети могут выбрать фрукты для приготовления фруктового салата. У нас есть:
- 9 бананов, и нам нужно выбрать 3 банана.
- 7 апельсинов, и нам нужно выбрать 3 апельсина.
- 7 яблок, и нам нужно выбрать 2 яблока.
Для каждой из этих ситуаций мы будем использовать формулу сочетаний, которая записывается как ( C(n, k) ), где ( n ) — общее количество предметов, а ( k ) — количество выбираемых предметов. Формула сочетаний выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех положительных целых чисел до ( n ).
Теперь, давайте поочередно рассчитаем количество способов выбора для каждого вида фруктов:
1. Выбор бананов
Мы выбираем 3 банана из 9:
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}
]
Сначала вычислим ( 9! ) и уж затем подставим значения в формулу. Но, для нашей задачи, нам не нужно полностью вычислять ( 9! ), можем сократить:
[
C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84
]
2. Выбор апельсинов
Теперь выбираем 3 апельсина из 7:
[
C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}
]
Снова сокращаем:
[
C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35
]
3. Выбор яблок
Теперь выбираем 2 яблока из 7:
[
C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}
]
Сокращаем:
[
C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21
]
Общий подсчет
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбора всех фруктов, мы перемножим найденные значения:
[
\text{Общее количество способов} = C(9, 3) \cdot C(7, 3) \cdot C(7, 2) = 84 \cdot 35 \cdot 21
]
Теперь вычислим это произведение:
[
84 \cdot 35 = 2940
]
[
2940 \cdot 21 = 61740
]
Ответ
Таким образом, общее количество способов выбрать 3 банана, 3 апельсина и 2 яблока для фруктового салата составляет 61740 способов.
