В холодильнике 9 бананов, 7 апельсинов и 7 яблок. Сколькими способами дети могут выбрать 3 банана, 3 апельсина и 2 яблока для приготовления фруктового салата?

Чтобы решить задачу, давайте поэтапно рассмотрим, какими способами дети могут выбрать фрукты для приготовления фруктового салата. У нас есть:

• 9 бананов, и нам нужно выбрать 3 банана.
• 7 апельсинов, и нам нужно выбрать 3 апельсина.
• 7 яблок, и нам нужно выбрать 2 яблока.

Для каждой из этих ситуаций мы будем использовать формулу сочетаний, которая записывается как \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество предметов, а \( k \) — количество выбираемых предметов. Формула сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех положительных целых чисел до \( n \).

Теперь, давайте поочередно рассчитаем количество способов выбора для каждого вида фруктов:

1. Выбор бананов

Мы выбираем 3 банана из 9:

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \]

Сначала вычислим \( 9! \) и уж затем подставим значения в формулу. Но, для нашей задачи, нам не нужно полностью вычислять \( 9! \), можем сократить:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84 \]

2. Выбор апельсинов

Теперь выбираем 3 апельсина из 7:

\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \]

Снова сокращаем:

\[ C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35 \]

3. Выбор яблок

Теперь выбираем 2 яблока из 7:

\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} \]

Сокращаем:

\[ C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21 \]

Общий подсчет

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбора всех фруктов, мы перемножим найденные значения:

\[ \text{Общее количество способов} = C(9, 3) \cdot C(7, 3) \cdot C(7, 2) = 84 \cdot 35 \cdot 21 \]

Теперь вычислим это произведение:

\[ 84 \cdot 35 = 2940 \] \[ 2940 \cdot 21 = 61740 \]

Ответ

Таким образом, общее количество способов выбрать 3 банана, 3 апельсина и 2 яблока для фруктового салата составляет 61740 способов.