Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти периметр правильного шестиугольника, зная его площадь.
Шаг 1: Понять площадь шестиугольника
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных треугольников, каждый из которых имеет сторону ( a ) (сторону шестиугольника). Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2
]
Где ( S ) — площадь шестиугольника, а ( a ) — длина стороны шестиугольника.
Шаг 2: Используем данную площадь
В задаче сказано, что закрашенная площадь равна ( 80\sqrt{3} , \text{см}^2 ). Поскольку незакрашенная часть составляет всего один треугольник, который имеет стороны равные длине стороны шестиугольника, его площадь можно также выразить через сторону ( a ):
Площадь одного равностороннего треугольника можно выразить так:
[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Следовательно, площадь закрашенной части шестиугольника будет равна:
[
S_{\text{закрашенная}} = S_{\text{шестиугольник}} - S_{\text{треугольник}}
]
Запишем это уравнение с подстановкой площадей:
[
80\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Чтобы упростить, давайте сделаем общий знаменатель для правой части:
[
80\sqrt{3} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) a^2
]
Общий знаменатель — 4:
[
\frac{6\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4}
]
Теперь запишем:
[
80\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{4} a^2
]
Шаг 4: Решаем для ( a^2 )
Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
[
320\sqrt{3} = 5\sqrt{3} a^2
]
Теперь делим обе стороны на ( 5\sqrt{3} ):
[
a^2 = \frac{320\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{320}{5} = 64
]
Следовательно,
[
a = \sqrt{64} = 8 , \text{см}
]
Шаг 5: Находим периметр шестиугольника
Периметр правильного шестиугольника рассчитывается так:
[
P = 6a
]
Теперь подставим значение ( a ):
[
P = 6 \times 8 = 48 , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, периметр правильного шестиугольника равен ( 48 , \text{см} ).
