Найдите периметр правильного шестиугольника, если площадь закрашенной части равна 80√3 см². Незаркашенная часть многоугольника всего 1 треугольник, у которого обе стороны-сторонв…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти периметр правильного шестиугольника, зная его площадь.

Шаг 1: Понять площадь шестиугольника

Правильный шестиугольник состоит из 6 равных треугольников, каждый из которых имеет сторону \( a \) (сторону шестиугольника). Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \]

Где \( S \) — площадь шестиугольника, а \( a \) — длина стороны шестиугольника.

Шаг 2: Используем данную площадь

В задаче сказано, что закрашенная площадь равна \( 80\sqrt{3} \, \text{см}^2 \). Поскольку незакрашенная часть составляет всего один треугольник, который имеет стороны равные длине стороны шестиугольника, его площадь можно также выразить через сторону \( a \):

Площадь одного равностороннего треугольника можно выразить так:

\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Следовательно, площадь закрашенной части шестиугольника будет равна:

\[ S_{\text{закрашенная}} = S_{\text{шестиугольник}} - S_{\text{треугольник}} \]

Запишем это уравнение с подстановкой площадей:

\[ 80\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Чтобы упростить, давайте сделаем общий знаменатель для правой части:

\[ 80\sqrt{3} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) a^2 \]

Общий знаменатель — 4:

\[ \frac{6\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \]

Теперь запишем:

\[ 80\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Шаг 4: Решаем для \( a^2 \)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 320\sqrt{3} = 5\sqrt{3} a^2 \]

Теперь делим обе стороны на \( 5\sqrt{3} \):

\[ a^2 = \frac{320\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{320}{5} = 64 \]

Следовательно,

\[ a = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} \]

Шаг 5: Находим периметр шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника рассчитывается так:

\[ P = 6a \]

Теперь подставим значение \( a \):

\[ P = 6 \times 8 = 48 \, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, периметр правильного шестиугольника равен \( 48 \, \text{см} \).