В магазине продаются огурцы, помидоры, лук, перец, картошка, кабачки, баклажаны, тыква, капуста, свёкла. Сколько различных сочетаний из трёх видов овощей можно собрать?
Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой. Нам нужно определить, сколько различных сочетаний из трёх видов овощей можно собрать из предложенного списка.
Шаг 1: Определение общего числа овощей
В задании указаны следующие овощи:
- Огурцы
- Помидоры
- Лук
- Перец
- Картошка
- Кабачки
- Баклажаны
- Тыква
- Капуста
- Свёкла
Итого: 10 различных овощей.
Шаг 2: Формула для сочетаний
Для нахождения числа сочетаний, когда порядок не важен, используется формула сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( C(n, k) \) — количество сочетаний,
- \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае, овощей),
- \( k \) — количество выбираемых предметов.
Шаг 3: Применение формулы
В нашем случае \( n = 10 \) (всего овощей) и \( k = 3 \) (мы выбираем 3 овоща). Подставим значения в формулу:
\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]
Шаг 4: Упрощение
Вычислим факториалы:
- \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \) (мы можем сократить \( 7! \) в числителе и знаменателе)
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
Теперь упростим выражение:
\[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \]
Шаг 5: Вычисление
Теперь посчитаем:
- Сначала перемножим числитель: \( 10 \times 9 = 90 \), затем \( 90 \times 8 = 720 \).
- Теперь поделим на \( 6 \):
\[ C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120 \]
Ответ
Итак, количество различных сочетаний из трёх видов овощей, которые можно собрать, равно 120.
