Один из углов прямоугольного треугольника=60°,сумма гипотенузы и меньшего карета=42 см Найти длину гипотенузы

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике с одним углом 60° и заданной суммой гипотенузы и меньшего катета, выполняем следующие шаги:

Шаг 1: Определение сторон треугольника

Пусть:

• \( c \) — длина гипотенузы,
• \( a \) — длина меньшего катета,
• \( b \) — длина большего катета.

Согласно условиям задачи, мы имеем:

• \( c + a = 42 \, \text{см} \) (сумма гипотенузы и меньшего катета),
• один из углов треугольника равен 60°.

Шаг 2: Использование свойств треугольника

В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем применить соотношения между сторонами. Для прямоугольного треугольника с углом 60° выполняются следующие соотношения:

• Меньший катет \( a \) можно выразить через гипотенузу \( c \): \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Больший катет \( b \) можно выразить через гипотенузу \( c \): \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Подстановка

Теперь мы можем подставить выражение для \( a \) в уравнение \( c + a = 42 \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \]

Шаг 4: Приведение к общему виду

Соберем \( c \) в одно уравнение: \[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 \]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Теперь выразим \( c \): \[ c = \frac{42}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{42}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \frac{42 \cdot 2}{2+\sqrt{3}} = \frac{84}{2+\sqrt{3}} \]

Шаг 6: Умножение на сопряженное

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ c = \frac{84(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{84(2-\sqrt{3})}{4 - 3} = 84(2 - \sqrt{3}) = 168 - 84\sqrt{3} \]

Шаг 7: Оценка численного значения

Теперь, чтобы получить приблизительное значение, можно подставить значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ c \approx 168 - 84 \cdot 1.732 \approx 168 - 145.488 \approx 22.512 \, \text{см} \]

Ответ

Длина гипотенузы \( c \) составляет примерно \( 22.51 \, \text{см} \).