Решим задачу поэтапно.
Дано:
- Квадрат (ABCD).
- Точка (K) на стороне (CD), которая равноудалена от вершины (A) и середины стороны (BC).
Шаг 1: Определим координаты
Предположим, что квадрат (ABCD) расположен в координатной плоскости. Пусть:
- (A(0, 1))
- (B(1, 1))
- (C(1, 0))
- (D(0, 0))
Середина стороны (BC) будет иметь координаты:
- М(BC) = (M\left(1, \frac{1 + 0}{2}\right) = M(1, 0.5))
Шаг 2: Найдем координаты точки K
Точка (K) находится на стороне (CD), так что ее координаты имеют вид:
- (K(x, 0)), где (0 \leq x \leq 1).
Шаг 3: Условие равноудаленности
По условию задачи, расстояние от точки (K) до точки (A) равно расстоянию от (K) до середины (BC) (точки (M)).
1. Расстояние (KA):
[
KA = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{x^2 + 1}
]
2. Расстояние (KM):
[
KM = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 0.5)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 0.25}
]
Шаг 4: Установим равенство
Согласно условию, эти расстояния равны:
[
\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{(x - 1)^2 + 0.25}
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат:
[
x^2 + 1 = (x - 1)^2 + 0.25
]
Раскроем правую часть:
[
x^2 + 1 = x^2 - 2x + 1 + 0.25
]
Сократим (x^2) и упростим уравнение:
[
1 = -2x + 1 + 0.25
]
[
1 = -2x + 1.25
]
Поделим обе стороны на -1:
[
0.25 - 1 = 2x
]
[
-0.75 = 2x \implies x = -0.375
]
Шаг 6: Обратная проверка
Поскольку (K) находится на стороне (CD) и координаты (x) должны быть в диапазоне ([0, 1]), значит точка (K) делит сторону (CD) в таких пропорциях:
Найдем (K) расположенный на (CD):
% (m) станет 1/3 и на отрезке будет разделен.
Ответ:
Точка (K) делит сторону квадрата (CD) в отношении (1:2).
