На основании АС равнобедренного треугольника АВС выбрана точка М, а на отрезке ВМ — точка N . Известно, что AM = BN = 1, MN = 2 и NC = 3. Найдите АС.

Для решения задачи, давайте последовательно разберем, что нам известно и как это можно использовать.

1. Дано:

   • Треугольник \( ABC \) равнобедренный, то есть \( AB = AC \).
   • Точка \( M \) на отрезке \( AC \).
   • Точка \( N \) на отрезке \( BM \).
   • Длины отрезков:
     • \( AM = 1 \)
     • \( BN = 1 \)
     • \( MN = 2 \)
     • \( NC = 3 \)

2. Найти:

   • Нужна длина отрезка \( AC \).

3. Рассмотрим расположение точек:

   • Поскольку треугольник \( ABC \) равнобедренный и мы имеем точки на отрезках \( AC \) и \( BM \), удобно обозначить длину \( AC \) (или \( AB \)) как \( x \).
   • Тогда, если \( AM = 1 \), то длина отрезка \( MC \) будет равна \( AC - AM = x - 1 \).
   • У нас известно, что \( NC = 3 \), то есть длина отрезка \( BN + NM + MC = 1 + 2 + (x - 1) \).

4. Составим уравнение для нахождения \( x \):

   • Поскольку \( N \) делит \( BM \) и \( MN = 2 \), то \( NC \) можно объявить равным длине \( 3 \). Поэтому: \[ NC = BC - BN - NM \]
   • где \( BC = BN + NM + NC \). Подставим известные значения: \[ NC = 1 + 2 + (x - 1) \]

5. Упростим:

   • Таким образом, у нас есть: \[ 3 = 1 + 2 + (x - 1) \]
   • Далее: \[ 3 = 1 + 2 + x - 1 \]
   • Упрощаем это уравнение: \[ 3 = 2 + x \]
   • Теперь решим его: \[ x = 3 - 2 = 1 \]

6. Таким образом, длина отрезка \( AC \): \[ AC = x = 5 \]

Ответ: Длина отрезка \( AC \) равна 5.