Давайте подробно разберём каждую из задач по порядку.
1. Найди координаты середины отрезка АВ, если A(6; –7), B(4; 5).
Решение:
Чтобы найти координаты середины отрезка, используем формулу:
[
O\left( x_O, y_O \right) = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)
]
Подставим координаты точек A и B:
- ( x_A = 6 )
- ( y_A = -7 )
- ( x_B = 4 )
- ( y_B = 5 )
Теперь подставим значения в формулу:
[
x_O = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5
]
[
y_O = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1
]
Ответ: Координаты середины отрезка AB: ( O(5; -1) ).
2. Точка O – середина отрезка AC. Найди координаты точки A, если C(4; –3), а O(2; 4).
Решение:
Если O – середина отрезка AC, то по формуле для середины можно выразить координаты точки A:
[
O\left( x_O, y_O \right) = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)
]
Значит:
[
x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{и} \quad y_O = \frac{y_A + y_C}{2}
]
Подставим известные координаты:
- ( x_C = 4 )
- ( y_C = -3 )
- ( x_O = 2 )
- ( y_O = 4 )
Теперь выразим ( x_A ) и ( y_A ):
Для ( x_O ):
[
2 = \frac{x_A + 4}{2}
]
Умножим обе части на 2:
[
4 = x_A + 4 \implies x_A = 0
]
Для ( y_O ):
[
4 = \frac{y_A - 3}{2}
]
Умножим обе части на 2:
[
8 = y_A - 3 \implies y_A = 11
]
Ответ: Координаты точки A: ( A(0; 11) ).
3. Найди расстояние между точками M и N, если M(8; –7), а N(11; –3).
Решение:
Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Здесь:
- ( M(8; -7) ) (где ( x_1 = 8 ), ( y_1 = -7 ))
- ( N(11; -3) ) (где ( x_2 = 11 ), ( y_2 = -3 ))
Подставляем в формулу:
[
d = \sqrt{(11 - 8)^2 + (-3 + 7)^2}
]
[
= \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Ответ: Расстояние между точками M и N равно ( 5 ).
4. Определи по уравнению окружности координаты её центра и радиус.
Предположим, у нас есть уравнение окружности в нормальной форме:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
где ( (x_0, y_0) ) — координаты центра окружности, а ( r ) — радиус.
Если уравнение окружности, к примеру, имеет вид:
[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16
]
Решение:
Сравниваем с нормальной формой:
- Центр: ( (x_0, y_0) = (3; -2) )
- Радиус ( r = \sqrt{16} = 4 )
Ответ: Координаты центра: ( (3; -2) ); радиус: ( 4 ).
Если у вас есть другое уравнение окружности, пожалуйста, пришлите его, и я помогу вам с решением.
