Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см. Найти периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся, как 6:8.

Для решения данной задачи используем свойство описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника. Так как описанная окружность имеет радиус 5 см, то гипотенуза треугольника равна 2 радиусам окружности, то есть 10 см.

С учетом того, что катеты треугольника относятся как 6:8, мы можем представить эти длины как 6x и 8x (где x - общий множитель). После этого можем использовать теорему Пифагора для нахождения значений катетов.

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Подставим известные значения:

\( (6x)^2 + (8x)^2 = 10^2 \)

Решив данное уравнение, найдем значение x, а затем найдем длины катетов.

Далее, найдем периметр треугольника, сложив все его стороны, а затем площадь, используя формулу для прямоугольного треугольника: \(S = \frac{ab}{2}\), где a и b - катеты.