Решите систему неравенств {х-3≤0, х²+2х-8≥0

Давайте решим систему неравенств:

1. Неравенство: \( x - 3 \leq 0 \)
2. Неравенство: \( x^2 + 2x - 8 \geq 0 \)

Шаг 1: Решение первого неравенства

Решаем первое неравенство:

\[ x - 3 \leq 0 \]

Добавим 3 к обеим сторонам:

\[ x \leq 3 \]

Шаг 2: Решение второго неравенства

Теперь решим второе неравенство:

\[ x^2 + 2x - 8 \geq 0 \]

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) с помощью формулы дис discriminant (D):

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Теперь вычислим корни:

1. \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -4 \). Эти корни поделят числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty, -4) \)
• \( [-4, 2) \)
• \( [2, +\infty) \)

Теперь используем тестовые точки для проверки знака выражения \( x^2 + 2x - 8 \) в каждом интервале:

1. Для интервала \( (-\infty, -4) \), возьмем \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \]

2. Для интервала \( [-4, 2) \), возьмем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}) \]

3. Для интервала \( [2, +\infty) \), возьмем \( x = 3 \): \[ 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \]

Шаг 3: Объединяем результаты

Таким образом, неравенство \( x^2 + 2x - 8 \geq 0 \) верно на интервалах:

\[ (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \]

Шаг 4: Пересечение решений

Теперь пересекаем решения двух неравенств:

1. \( x \leq 3 \) (из первого неравенства)
2. \( (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \) (из второго неравенства)

Таким образом, пересечение будет:

\[ (-\infty, -4] \cup [2, 3] \]

Ответ

Решение системы неравенств:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [2, 3] \]

Это значит, что \( x \) может принимать любые значения меньше или равно -4, а также значения от 2 до 3 включительно.