Решите систему неравенств {х-3≤0, х²+2х-8≥0

Давайте решим систему неравенств: 1. **Неравенство**: \( x - 3 \leq 0 \) 2. **Неравенство**: \( x^2 + 2x - 8 \geq 0 \) ### Шаг 1: Решение первого неравенства Решаем первое неравенство: \[ x - 3 \leq 0 \] Добавим 3 к обеим сторонам: \[ x \leq 3 \] ### Шаг 2: Решение второго неравенства Теперь решим второе неравенство: \[ x^2 + 2x - 8 \geq 0 \] Сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) с помощью формулы дис discriminant (D): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Теперь вычислим корни: 1. \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \) Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -4 \). Эти корни поделят числовую ось на три интервала: - \( (-\infty, -4) \) - \( [-4, 2) \) - \( [2, +\infty) \) Теперь используем тестовые точки для проверки знака выражения \( x^2 + 2x - 8 \) в каждом интервале: 1. **Для интервала** \( (-\infty, -4) \), возьмем \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \] 2. **Для интервала** \( [-4, 2) \), возьмем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}) \] 3. **Для интервала** \( [2, +\infty) \), возьмем \( x = 3 \): \[ 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 3: Объединяем результаты Таким образом, неравенство \( x^2 + 2x - 8 \geq 0 \) верно на интервалах: \[ (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \] ### Шаг 4: Пересечение решений Теперь пересекаем решения двух неравенств: 1. \( x \leq 3 \) (из первого неравенства) 2. \( (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \) (из второго неравенства) Таким образом, пересечение будет: \[ (-\infty, -4] \cup [2, 3] \] ### Ответ Решение системы неравенств: \[ x \in (-\infty, -4] \cup [2, 3] \] Это значит, что \( x \) может принимать любые значения меньше или равно -4, а также значения от 2 до 3 включительно.