В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СН. Найти АВ, если угол СВА равен 30 градусов, а АН = 6 см.
Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике ABC с высотой CH, проведенной к гипотенузе AB. У нас есть угол CBA, равный 30 градусам, и отрезок AH, равный 6 см. Нам нужно найти длину гипотенузы AB.
Шаг 1: Изучим треугольник ABC
- Определения:
- В прямоугольном треугольнике ABC, где угол B равен 90 градусам, угол CBA равен 30 градусам.
- Таким образом, угол CAB будет равен 60 градусам, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Шаг 2: Связь между сторонами треугольника
В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов для противолежащей стороны (в данном случае CH) и гипотенузы AB выполняется следующее соотношение:
- Противолежащая сторона (CH) = половина гипотенузы (AB), умноженная на синус угла CBA (30 градусов).
Шаг 3: Найдем длину CH
Давайте посмотрим на отношения:
Синус угла CBA: \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
Отрезок CH: В данной задаче CH является высотой, поэтому не следует путать его с противолежащей стороной. Мы можем использовать проекции.
Зная, что AN = 6 см и используя соотношение: \[ CH = AH \cdot \tan(30^\circ) \] (где \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)), мы можем выразить CH.
Мы знаем, что длина AH = 6 см. Таким образом: \[ CH = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3.46 \text{ см} \]
Шаг 4: Находим гипотенузу AB
Находим длину гипотенузы AB: \[ AB = \frac{CH}{\sin(30^\circ)} = \frac{CH}{0.5} = 2 \cdot CH \] Заменяем CH: \[ AB = 2 \cdot 3.46 \approx 6.92 \text{ см} \]
Ответ:
Длина гипотенузы AB составляет около 6.92 см.
