вычисли косинус угла между векторами вектор p и w, если вектор p (3;-4), вектор w (15;8)
Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{w}\), воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{w}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{w}|} \]
Скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение определяется как: \[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{w} = p_x \cdot w_x + p_y \cdot w_y \]
Для \(\mathbf{p} = (3, -4)\) и \(\mathbf{w} = (15, 8)\): \[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{w} = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13 \]
Длины (модули) векторов:
\(|\mathbf{p}|\) и \(|\mathbf{w}|\) определяются как: \[ |\mathbf{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |\mathbf{w}| = \sqrt{w_x^2 + w_y^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]
Косинус угла:
Теперь подставим найденные значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85} \]
Таким образом, косинус угла между векторами \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{w}\) равен \(\frac{13}{85}\).
Объяснение: В процессе решения мы нашли скалярное произведение векторов, вычислили их длины и использовали формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Такие задачи часто встречаются в курсе алгебры и линейной алгебры, и являются важными для понимания векторной геометрии.
