Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( R ) — радиус окружности, описанной около треугольника,
- ( a, b, c ) — стороны треугольника,
- ( S ) — площадь треугольника.
Шаг 1: Определение сторон треугольника
Пусть:
- ( A ) — угол при вершине A,
- ( B ) — угол при вершине B,
- ( C ) — угол при вершине C.
В данном треугольнике:
- ( C = 150° )
- ( AB = c = 26 )
Углы A и B в треугольнике ABC могут быть найдены следующим образом. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, получаем:
[
A + B + C = 180°
]
Подставим значение угла C:
[
A + B + 150° = 180°
]
Отсюда:
[
A + B = 30°
]
Шаг 2: Находим сторону AC
Так как мы знаем угол C и сторону c, можем выразить сторону AC (обозначим её как ( a )) через сторону c и углы A и B. Для этого воспользуемся синусовыми законами. Согласно синусному правилу:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Из этого уравнения можем выразить также сторону b:
[
b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C}
]
Для вычисления всех сторон необходимо знать значения углов A и B, но можем использовать то, что:
[
\sin C = \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}
]
Подставляем в формулу:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
Шаг 3: Можно использовать альтернативную формулу
Однако, чтобы ускорить процесс, мы используем другую формулу для радиуса окружности:
[
R = \frac{c}{2\sin C}
]
Следовательно:
[
R = \frac{26}{2 \sin 150°} = \frac{26}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{26}{1} = 26
]
Ответ
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен:
[
\boxed{26}
]
