Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 2x + sinx.
Чтобы найти общий вид первообразных для функции \( f(x) = 2x + \sin(x) \), нам нужно проинтегрировать эту функцию.
Шаг 1: Определение интеграла
Обозначим \( F(x) \) как первообразную функции \( f(x) \). Нам нужно найти
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (2x + \sin(x)) \, dx. \]
Шаг 2: Разделение интеграла
Мы можем разделить интеграл на две части:
\[ F(x) = \int (2x) \, dx + \int \sin(x) \, dx. \]
Шаг 3: Интегрирование каждой части
Интеграл \( \int 2x \, dx \):
Используем правило интегрирования для степени \( x^n \): \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \] где \( C \) — произвольная константа. В нашем случае \( n = 1 \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2. \]
Интеграл \( \int \sin(x) \, dx \):
Знаем, что \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x). \]
Шаг 4: Сложение результатов
Теперь мы можем сложить результаты интегрирования:
\[ F(x) = x^2 - \cos(x) + C, \] где \( C \) — произвольная константа.
Шаг 5: Ответ
Таким образом, общий вид первообразной для функции \( f(x) = 2x + \sin(x) \) будет:
\[ F(x) = x^2 - \cos(x) + C. \]
Это и есть ответ на задачу. Вы можете проверить правильность, продифференцировав \( F(x) \) и убедившись, что вы получите первоначальную функцию \( f(x) \).
