Чтобы найти общий вид первообразных для функции ( f(x) = 2x + \sin(x) ), нам нужно проинтегрировать эту функцию.
Шаг 1: Определение интеграла
Обозначим ( F(x) ) как первообразную функции ( f(x) ). Нам нужно найти
[
F(x) = \int f(x) , dx = \int (2x + \sin(x)) , dx.
]
Шаг 2: Разделение интеграла
Мы можем разделить интеграл на две части:
[
F(x) = \int (2x) , dx + \int \sin(x) , dx.
]
Шаг 3: Интегрирование каждой части
Интеграл ( \int 2x , dx ):
Используем правило интегрирования для степени ( x^n ):
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
]
где ( C ) — произвольная константа. В нашем случае ( n = 1 ):
[
\int 2x , dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2.
]
Интеграл ( \int \sin(x) , dx ):
Знаем, что
[
\int \sin(x) , dx = -\cos(x).
]
Шаг 4: Сложение результатов
Теперь мы можем сложить результаты интегрирования:
[
F(x) = x^2 - \cos(x) + C,
]
где ( C ) — произвольная константа.
Шаг 5: Ответ
Таким образом, общий вид первообразной для функции ( f(x) = 2x + \sin(x) ) будет:
[
F(x) = x^2 - \cos(x) + C.
]
Это и есть ответ на задачу. Вы можете проверить правильность, продифференцировав ( F(x) ) и убедившись, что вы получите первоначальную функцию ( f(x) ).
