Найдите все первообразные функции f (x) = e1 - x - 4sin(2x + 3).

Чтобы найти первообразные функции \( f(x) = e^1 - x - 4\sin(2x + 3) \), нам нужно интегрировать данную функцию. Рассмотрим каждый элемент функции отдельно.

Шаг 1: Интеграция каждого слагаемого

1. Первое слагаемое: \( e^1 \)
   \( e^1 \) — это просто число, его интеграл равен: \[ \int e^1 \, dx = e^1 \cdot x + C_1 \] Здесь \( C_1 \) — произвольная константа.

2. Второе слагаемое: \( -x \) Интегрируем \( -x \): \[ \int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} + C_2 \] Здесь \( C_2 \) — еще одна произвольная константа.

3. Третье слагаемое: \( -4\sin(2x + 3) \)
   Для интегрирования данного слагаемого используем замену переменной. Пусть \( u = 2x + 3 \). Тогда \( du = 2 \, dx \) или \( dx = \frac{du}{2} \). Теперь интегрируем: \[ \int -4\sin(2x + 3) \, dx = -4 \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = -2 \int \sin(u) \, du \] Интеграл от \( \sin(u) \) равен \( -\cos(u) \): \[ -2 \int \sin(u) \, du = -2(-\cos(u)) = 2\cos(u) = 2\cos(2x + 3) \]

Шаг 2: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить все найденные интегралы: \[ F(x) = e^1 x - \frac{x^2}{2} + 2\cos(2x + 3) + C \] где \( C \) — общая произвольная константа (можно рассмотреть её как \( C = C_1 + C_2 + C_3 \)).

Ответ

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = e^1 - x - 4\sin(2x + 3) \) будет: \[ F(x) = e^1 x - \frac{x^2}{2} + 2\cos(2x + 3) + C \] где \( C \) — константа произвольного интегрирования.