реши уравнение

Для того чтобы выяснить, является ли данное уравнение уравнением окружности, нужно преобразовать его к стандартной форме уравнения окружности.

Дано уравнение: \[ x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 \]

Шаг 1: Приведение к стандартной форме

Стандартная форма уравнения окружности: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

Для этого нужно выполнить свертывание квадратов у коэффициентов \(x\) и \(y\):

1. Сгруппируем и упростим:
   \[ (x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0 \]

2. Добавим и вычтем нужные числа для полного квадрата:

   • Для \(x^2 - 4x\): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \]

   • Для \(y^2 - 2y\): \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \]

3. Подставим и упростим: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + 1 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \]

Шаг 2: Анализ уравнения

Полученное уравнение соответствует стандартной форме: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] где \( h = 2 \), \( k = 1 \), и \( r^2 = 4 \) (следовательно, \( r = 2 \)).

Ответ

Да, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке \((2, 1)\) и радиусом 2.