abc прямоугольный треугольник угол а прямой аб=ас=4+√8 найти r

Давайте решим задачу, в которой нам нужно найти радиус вписанной окружности (r) в прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом в вершине \(A\).

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \)
• Угол \(A\) - прямой
• Стороны \(AB\) и \(AC\) равны: \(AB = AC = 4 + \sqrt{8}\)

Пошаговое решение:

1. Определим стороны треугольника: Поскольку треугольник прямоугольный и \(AB = AC\), это равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим: \[ a = AB = AC = 4 + \sqrt{8} \] Тогда найдем длину гипотенузы \(BC\) с помощью теоремы Пифагора: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

2. Вычислим площадь треугольника: Площадь \(S\) прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \]

3. Подставляем значение \(a\): \[ a = 4 + \sqrt{8} \] Сначала найдем \(a^2\): \[ a^2 = (4 + \sqrt{8})^2 = 16 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{8} + 8 = 16 + 8\sqrt{2} + 8 = 24 + 8\sqrt{2} \] Теперь подставим это значение в формулу для площади: \[ S = \frac{24 + 8\sqrt{2}}{2} = 12 + 4\sqrt{2} \]

4. Найдем радиус вписанной окружности (r): Радиус вписанной окружности \(r\) в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \(p\) — полупериметр, который рассчитывается по формуле: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a + a + a\sqrt{2}}{2} = \frac{2a + a\sqrt{2}}{2} = a\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

5. Выразим r: Теперь вычислим полупериметр: \[ p = a\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = (4 + \sqrt{8})\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] Подставляем значение: \[ p = (4 + \sqrt{8})\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4 + 2\sqrt{2} + \sqrt{8} + 4 = 8 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8 + 4\sqrt{2} \]

6. Теперь найдем \(r\): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{12 + 4\sqrt{2}}{8 + 4\sqrt{2}} \] После упрощения: \[ r = \frac{4(3 + \sqrt{2})}{4(2 + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \]

7. Упростим данный дробь: Умножим числитель и знаменатель на конъюгат: \[ r = \frac{(3 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{6 - 3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{2}}{2} = 4 - 2\sqrt{2} \]

Итак, радиус вписанной окружности \(r\) равен: \[ \boxed{4 - 2\sqrt{2}} \]