Имеется 4 одинаковых ящика, в каждом из которых находятся 30 черных и 30 белых шаров. Из каждого ящика случайным образом достали по одному шару. Найдите вероятность того, что все…
Имеется 4 одинаковых ящика, в каждом из которых находятся 30 черных и 30 белых шаров. Из каждого ящика случайным образом достали по одному шару. Найдите вероятность того, что все шары будут черными.
Для решения этой задачи найдем вероятность того, что из каждого ящика извлеченный шар окажется черным.
Определение вероятности для одного ящика: В каждом ящике находится 30 черных и 30 белых шаров, всего 60 шаров. Вероятность того, что шар, выбранный из одного ящика, будет черным, можно вычислить по формуле:
\[ P(\text{черный шар}) = \frac{\text{Количество черных шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \]
Определение вероятности для всех ящиков: Поскольку у нас 4 ящика и выбираем один шар из каждого, вероятность того, что все 4 шара окажутся черными, можно найти, умножив вероятность для каждого ящика:
\[ P(\text{все черные}) = P(\text{черный шар из 1-го ящика}) \times P(\text{черный шар из 2-го ящика}) \times P(\text{черный шар из 3-го ящика}) \times P(\text{черный шар из 4-го ящика}) \]
Так как все ящики одинаковые и вероятность для каждого ящика составляет \(\frac{1}{2}\), то:
\[ P(\text{все черные}) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]
Ответ: Таким образом, вероятность того, что все 4 шара будут черными, равна \(\frac{1}{16}\).
Проверяя наш расчет, мы видим, что для каждого ящика вероятность получить черный шар независима от других ящиков, и мы просто умножаем вероятности, что является стандартным подходом в задачах вероятности.
